komplexe Polynome/Linearfaktoren

Question

Zerlegen Sie das komplexe Polynom f(z) = 3z³ − 9z² + 3z + 15 vollständig in
seine (komplexen) Linearfaktoren. Gehen Sie dafür wie folgt vor:
a) (i) Die erste Nullstelle ist z1 = 2 + i. Spalten Sie diese mithilfe von Polynomdivision ab, um zu zeigen, dass gilt f(z) = 3z³ − 9z² + 3z + 15 = 3(z³ − 3z² + z + 5) =3(z − (2 + i))(z² − (1 − i)z − 2 + i).

ii) Bestimmen Sie die zweite Nullstelle z2, indem Sie sich überlegen, dass mit z immer auch z eine Nullstelle des Polynoms ist, da alle Koeffizienten reell sind.

iii) Spalten Sie die zweite Nullstelle z2 (aus ii) mihilfe von Polynomdivision ab und bestimmen Sie die dritte Nullstelle z3.

iv)

Geben Sie die Linearfaktorzerlegung von f an, d.h. schreiben Sie die Funktion in der Form f(z) = c(z − z1)(z − z2)(z − z3)  mit c ∈ C.

b) Bestimmen Sie alle komplexen Nullstellen des Polynoms p(z) = z³ + (2 + 2i), d.h. alle komplexen Lösungen der Gleichung z³ = −(2 + 2i).

Hat hierzu jemand mögliche Lösungsvorschläge?

Answer 1

i)  ( 3z^3 − 9z^2 + 3z + 15):(z -2-i ) = 3z^2 + (-3+3i)z +(-6+3i)
   3z^3 -6z^2-3iz^2 
---------------------------
          (-3+3i)z^2    + 3z + 15
          (-3+3i)z^2 + (9-3i)z
        -----------------------------
                            (-6+3i)z + 15 
                             (-6+3i)z + 15
                            ------------------
                                               0

==>   f(z) = (  3z^2 + (-3+3i)z +(-6+3i) ) * (z -2-i ) 3 ausklammern.
              = 3* (  z^2 + (-1+i)z +(-2+i) ) * (z -2-i )
              =  3(z^2 − (1 − i)z − 2 + i)*(z − (2 + i))  Passt also !