Gruppe und neutrales Element

Question

Aufgabe:

Wir sollen diese Tafel vervollständigen. Hierbei handelt es sich um eine Gruppe mit (A,B,C,D, *), wobei * eine Verknüpfung ist.

Problem/Ansatz:

Ich habe noch nichts finden können, da mir hier ein neutrales Element zu fehlen scheint. Kann mir jemand einen Hinweis geben?

Comments

Hinweis: $A$, $B$ und $C$ sind allen Anschein nach nicht das neutrale Element, da die Verknüpfung von $x\in\{A,B,C,D\}$ mit einem der dreien jeweils ein anderes Element $\ne x$ ergibt. Welches Element bleibt denn dann noch als neutrales Element übrig?

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Danke

Was genau wäre dann das inverse Element.

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Was genau wäre dann das inverse Element.

immer das Element selbst ist sein eigenes Inverses. Siehe Antwort von Tschakabumba.

Answer 1

Aloha :)

$$\begin{array}{c|cccc}\ast & A & B & C & D\\\hline A & & C & & \\B & & & A &\\C & & & D &\\D & A & & &\end{array}$$

Wir wollen ein schöne abelsche Gruppe bauen. Daher fordern wir Symmetrie:$$\begin{array}{c|cccc}\ast & A & B & C & D\\\hline A & & C & & \pink A \\B & \pink C & & A &\\C & \circ & \pink A & D &\\D & A & & &\end{array}$$

In jeder Reihe muss jedes Element genau 1-mal vorkommen. An die mit $\circ$ markierte Position muss wegen der Spalte ein B oder ein D und wegen der Zeile ein B oder ein C. Nur ein B erfüllt beide Bedingungen.$$\begin{array}{c|cccc}\ast & A & B & C & D\\\hline A & & C & & A \\B & C & & A &\\C & \pink B & A & D &\\D & A & & &\end{array}$$

Die enstandenen Einzellücken füllst du auf:$$\begin{array}{c|cccc}\ast & A & B & C & D\\\hline A & \pink D & C & \pink B & A \\B & C & & A &\\C & B & A & D & \pink C\\D & A & & \pink C &\end{array}$$

Jetzt müssen wir noch 2-mal D und 2-mal B verteilen. D ist offensichtlich das neutrale Element (vgl. letzte Zeile und letzte Spalte) und gehört auf die Diagonale:$$\begin{array}{c|cccc}\ast & A & B & C & D\\\hline A & D & C & B & A \\B & C & \pink D & A & \pink B\\C & B & A & D & C \\D & A & \pink B & C & \pink D\end{array}$$

Comments

Vielen vielen Dank

Was wäre dann das inverse Element?

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Jedes Element ist zu sich selbst das inverse Element.