Bestimme alle lokalen Extremstellen und Wendepunkte von f(x)

Question

Aufgabe:

Für alle x > 0 sei die Funktion f(x) { 3/x,                 0 < x <= 3

                                                     -x^2 + 8x - 14     3 < x

gegeben.

a) Bestimme alle lokalen Extremstellen dieser Funktion

b) Hat die Funktion einen Wendepunkt?

Problem/Ansatz:

Ich bin ein bisschen verwirrt, dass die Funktion in zwei Bereiche geteilt ist, aber wenn ich in jedem Bereich mein Schema anwende, erhalte ich folgendes:

a)

f(x) = 3/x → f'(x) = -3/x^2 → f''(x) = 6/x^3 Hier hat die Funktion keine Extremstelle, da f'(x) keine definierte Nullstelle hat.

f(x) = -x^2 + 8x - 14 → f'(x) = -2x + 8 → f''(x) = -2 Hier hat die Funktion bei x = 4 ein Maximum

b)

Es liegt keine Wendepunkt vor, da die Funktion hierfür mindestens x^3 sein müsste.

Sind die Antworten so richtig?

Danke und LG

Answer 1

Bei x = 3 hast du noch ein lokales Minimum

Skizze

Comments

Danke für die Skizze, damit sieht man auf jeden Fall die zweite Extremstelle bei x = 3.

Aber ist die Voraussetzung für das Minimum nicht, dass f'(3) = 0? Und in diesem Fall wäre das dann doch f'(3) = -1/3.

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An der Stelle 3 ist die Funktion nicht differenzierbar. Dort hast du offensichtlich eine Knickstelle und kannst dort keine Tangente anlegen.

Aber auch solche Stellen Punkte können lokale Extrempunkte sein.