Question

Wie bestimme ich das lokale Extrem von x²*ln(x)?

Answer 1

f(x) = x^2 + ln(x)

f'(x) = 2·x + 1/x = 0

2·x^2 + 1 = 0

x = √(-1/2)

Keine Lösung in R

Comments

muss nicht die erste Ableitung f'(x) = 2x - 1/x² heißen? wegen einer ableitungsregel?

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Du leitest doch ln(x) ab und nicht 1/x. Die ableitung von 1/x wäre -1/x^2. Die Ableitung von ln(x) ist 1/x.

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sorry meinte "mal" und nicht "plus"!

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Dann muss man mit Produktregel ableiten

f(x) = x² * ln(x)

f'(x) = 2x * ln(x) + x^2 * 1/x = 2·x·LN(x) + x = x·(2·LN(x) + 1) = 0

x = 0 --> Nicht im Definiionsbereich

2·LN(x) + 1 = 0
x = e^{- 1/2} = 0.6065306597

f(e^{- 1/2}) = (e^{- 1/2})^2 * ln(e^{- 1/2}) = - 1/(2·e) = -0.1839397205

Da f(x) für große x monoton steigend ist kann dies nur ein Tiefpunkt sein.

Answer 2

Hi,

meinst Du f(x) = x^2*ln(x) oder g(x) = x^2+ln(x)?

 

Im Falle von f(x):

f'(x) = 2x*ln(x) + x^2*1/x = 2x*ln(x) + x = x(2ln(x) + 1)

Das 0 setzen:

x*(2ln(x)+1) = 0

x₁ = 0

2ln(x)+1 = 0   ---> ln(x) = -1/2  ---> x = e^{-1/2}

x₂ = e^{-1/2}

Ersteres liegt gar nicht im Definitionsbereich. Letzteres mit der zweiten Ableitung überprüfen.

Es handelt sich um ein Minimum T(e^{-1/2}|f(e^{-1/2})).

 

Grüße