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Das soll lediglich eine Definitionsfrage sein.


Sagen wir man nimmt ℝ×ℝ und definiert dann eine Multiplikative Gruppe darüber für einen Körper.

Der multiplikative Teil des Körpers muss ja eine Abelsche Gruppe sein, also muss jedes Element ℝ×ℝ\ 0  invertierbar sein.

Nun sagen wir, wir definieren den multiplikativen Teil des Körpers als das Produkt aus zwei geoordneten Paaren des kartesischen Produkts. Also (x, y) und (a, b) werden dann verknüft mit (xa, yb).

Nun könnte man ja ein geoordnetes Paar (1, 0) wählen. Wenn man dies verknüpft, wird man nie das neutrale Element (1, 1) erhalten und somit ist es nicht invertierbar.

Und genau hier habe ich ein Problem bei der Definition. Die 0 muss ja nicht invertierbar sein, aber fällt das geoordnete Paar (1, 0) nun unter diese Regel weil es eine 0 enthält, oder fällt nur das geoordnete Paar (0, 0) unter diese Regel und (1, 0) müsste invertierbar sein, damit es überhaupt als Gruppe durchgeht?

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aber fällt das geoordnete Paar (1, 0) nun unter diese Regel weil es eine 0 enthält, oder fällt nur das geoordnete Paar (0, 0) unter diese Regel und (1, 0) müsste invertierbar sein, damit es überhaupt als Gruppe durchgeht?

Alle Elemente bis auf (0,0) müssen invertierbar sein. Also braucht (1,0) ein Inverses.

Ein weiteres Problem an der Verknüpfung ist zB auch

(1,0) * (0,1) = (0, 0)

Also hast du einen Nullteiler. Körper sind aber immer nullteilerfrei. Du bekommst mit dieser Verknüpfung deshalb keine Körperstruktur.

Alle Elemente bis auf (0,0) müssen invertierbar sein

Richtig ist : Alle Elemente bis auf 0 müssen invertierbar sein, dabei hängt was 0 ist, von der Definition der Addition ab : 0 ist das neutrale Element bzgl. dieser.

Korrekt, danke für den Hinweis. Bin von komponentenweiser Addition ausgegangen (die Standardwahl eben). Dort ist (0,0) das neutrale Element.

Vielen Dank, das hat mir sehr geholfen!

Du kannst dir als kleine Zusatzaufgabe ja mal überlegen warum (0,0) der einzige Kandidat für die 0 (also das neutrale Element der Addition) ist, der noch mit einer Ringstruktur (mit der gegebenen Multiplikation) auf IR² in Einklang zu bringen ist.

Nimm also an dass (IR²,⊕,*) ein Ring ist und führe 0 = (x,y) ≠ (0,0) zu einem Widerspruch

Tipp: In Ringen gilt

0 * irgendwas = 0

Man sagt auch "0 ist ein absorbierendes Element der Multiplikation".

1 Antwort

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Die 0 muss ja nicht invertierbar sein,

Um es genauer zu sagen, das neutrale Element der Addition braucht bezüglich der Multiplikation nicht invertierbar sein.

aber fällt das geoordnete Paar (1, 0) nun unter diese Regel

Nur dann wenn (1, 0) das neutrale Element bezüglich der Addition ist.

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