1. Die Elemente der Gestalt \(ghg^{-1}h^{-1}\) nennt man Kommutatoren.
Die von ihnen erzeugte Untergruppe \(N\) heißt Kommutatoruntergruppe.
Ist nun \(ghg^{-1}h^{-1}\) ein solcher, dann ist sein Inverses
ebenfalls ein Kommutator; denn es ist
\((ghg^{-1}h^{-1})^{-1}=hgh^{-1}g^{-1}\).
Die Elemente von \(N\) sind also einfach endliche Produkte
von Kommutatoren.
Sei nun \(x=g_1h_1g_1^{-1}h_1^{-1}\cdots g_nh_ng_n^{-1}h_n^{-1}\in N\)
ein solches endliches Produkt und \(a\in G\) beliebig, dann ist
\(axa^{-1}=a(g_1h_1g_1^{-1}h_1^{-1})a^{-1}\cdots a(g_nh_ng_n^{-1}h_n^{-1})a^{-1}\)
Für den allgemeinen Term (den einzelnen Kommutator) erhalten wir:
\(a(ghg^{-1}h^{-1})a^{-1}=(aga^{-1})(aha^{-1})(ag^{-1}a^{-1})(ah^{-1}a^{-1})=\)
\(=(aga^{-1})(aha^{-1})(aga^{-1})^{-1}(aha^{-1})^{-1}\in N\), also
\(axa^{-1}\in N\), d.h. \(aNa^{-1}\subseteq N\).
\(N\) ist also Normalteiler.
2. Die Multiplikation in \(G/N\) ist so definiert:
\(aN\cdot bN=abN\).
Nun bedenke man \(abN=baN\iff ab(ba)^{-1} \in N\) ...
