Steckbriefaufgabe mit Wendepunkten

Question

Aufgabe:

Der Graph $G_{f}$ einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f: x \mapsto a x^{4}+b x^{3}$ mit $a, b \in \mathbb{R}$ besitzt im Punkt $\mathrm{O}(0 \mid 0)$ einen Wendepunkt mit waagrechter Tangente. $W(1 \mid-1)$ ist ein weiterer Wendepunkt von $G_{f}$. Bestimmen Sie mithilfe dieser Information die Werte von a und b.

Problem/Ansatz:

Answer 1

f(x) = a·x⁴ + b·x³

f(1) = -1 --> a + b = -1

f''(1) = 0 --> 12·a + 6·b = 0

Löse das entstehende Gleichungssystem. Ich erhalte a = 1 ∧ b = -2

Comments

wie ermittelt man die Art und Lage des Extrempunkts, das Krümmungsverhalten und dle Lage des Wendepunkts von $G_{f}$.

Answer 2

Der Graph $G_{f}$ einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f: x \mapsto a x^{4}+b x^{3}$ mit $a, b \in \mathbb{R}$ besitzt im Punkt $\mathrm{O}(0 \mid 0)$ einen Wendepunkt mit waagrechter Tangente. $W(1 \mid-1)$ ist ein weiterer Wendepunkt von $G_{f}$. Bestimmen Sie mithilfe dieser Information die Werte von a und b.

1.) In $\mathrm{O}(0 \mid 0)$ ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente:

Hier ist eine 3-fache Nullstelle:

$f(x)=a\cdot x^3(x-N)$

2.) $W(1 \mid-1)$ ist ein weiterer Wendepunkt

$f(1)=a\cdot (1-N)$

$a\cdot (1-N)=-1$     → $a=\frac{1}{N-1}$

$f(x)=\frac{1}{N-1}\cdot [x^4-Nx^3]$

3.) Wendepunkteigenschaft

$f'(x)=\frac{1}{N-1}\cdot [4x^3-3Nx^2]$

$f''(x)=\frac{1}{N-1}\cdot [12x^2-6Nx]$

$f''(1)=\frac{1}{N-1}\cdot [12-6N]$

$\frac{1}{N-1}\cdot [12-6N]=0$ →  $N=2$        $a=\frac{1}{2-1}=1$

$f(x)=x^3(x-2)=x^4-2x^3$

$a=1$   $b=-2$

$f(x)=x^3(x-2)=x^4-2x^3$