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Aufgabe:

Sei an eine beschränkte Folge in R wir haben weiter die Folgen sn = sup{ak: k≥n} und und in =inf{ak: k≥n}.

mit n∈ℕ


Problem/Ansatz:

1) Wie zeige ich, dass s und i beschränkte folgen sind?

2) Warum i≤s gilt.


Kann uns hier jemand bitte weiterhelfen?

Dankeschön:)

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Vielen lieben Dank für deine Mühen!!


Kannst du uns noch zeigen, warum sn eine monoton fallende Folge ist?

Das wäre, mega :)

1 Antwort

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Sei an eine beschränkte Folge in R

==>   Es gibt u,v ∈ ℝ   u≤ an ≤ v für alle n∈ℕ.

==>   sup{ak: k≥n} ≤ v  denn v ist eine obere

Schranke für {ak: k≥n}, da es eine obere Schranke für die

Menge aller Folgenglieder ist.  Und jede obere Schranke

ist immer größer oder gleich dem Supremum einer

Menge, denn das Supremum ist ja die

kleinste obere Schranke.

Entsprechend auch für die unteren Schranken .

2) Angenommen i≤s heißt doch:

Für alle n∈ℕ gilt in ≤ sn .

Angenommen, das sei falsch, dann gäbe es ein n∈ℕ

mit    in > sn .

==>  inf{ak: k≥n} >    sup{ak: k≥n} .

Es gibt aber keine nichtleeren Teilmengen von ℝ, bei denen

das Infimum größer als das Supremum ist.

Avatar von 287 k 🚀

Vielen lieben Dank für deine Mühen!!

Kannst du uns noch zeigen, warum sn eine monoton fallende Folge ist?
Das wäre, mega :)

sn und sn+1 sind Suprema von Mengen.

Dabei ist die 2. eine Teilmenge der ersten,

also ihr Supremum kleiner oder gleich dem der 1.

Danke!

Nur können wir uns sn+1 nicht vorstellen, wie sieht die konkrete Menge aus?

Betrachte z.B die beschränkte Folge

n:      1    2     3      4         5       6      7        8  .....

an:   -1 ; 1/2 , -1/2 ; 1/3 ; -1/3 ; 1/4 ; -1/4     1/5  etc.

Dann ist z.B s4 =  sup{ak: k≥4}  also

sup( { 1/3 ; -1/3 ; 1/4 ; -1/4  ;  1/5 ; .... }) = 1/3

und s5 ( also quasi sn+1 wenn n=4 ist ) ist dann

sup( { -1/3 ; 1/4 ; -1/4  ;  1/5 ; .... }) = 1/4  das Sup einer Menge mit

einem Element weniger. Das kann also nie größer sein, als

das vorherige, höchsten kleiner oder gleich.

Wahnsinnig, danke!

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