Analysis und lineare Algebra für Ingineurwissenschaften

Question

Aufgabe:

Wir betrachten \( \mathbb{R}_{\leq 2} \), den Vektorraum der Polynome vom Grad höchstens 2 mit reellen Koeffzienten, und die Basis

\( \mathcal{B}=\left\{t^{2}+t, t+1,-1\right\} \) von \( \mathbb{R}_{\leq 2} \). Sei \( p \in \mathbb{R}_{\leq 2} \) das Polynom in \( \mathbb{R}_{\leq 2} \) mit dem Koordinatenvektor

\( \vec{p}_{\mathcal{B}}=\left[\begin{array}{c}-1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right] \in \mathbb{R}^{3} \).

Bestimmen Sie \( p \).

Es ist genau eine Antwort richtig.
\( p=t^{2}+3 t+3 \)
\( p=t^{2}+2 t-1 \)
Das Polynom \( p \) ist nicht eindeutig bestimmt.
\( p=-t^{2}+2 t+1 \)
\( p=-t^{2}+t+1 \)

Problem/Ansatz:

Hallo zusammen, ich habe eine Übung für Analysis und lineare Algebra angefangen. Das sind die letzten beiden Fragen (Nummer 34 & 47) die ich nach langem Versuchen nicht schaffe zu lösen.

Ich hoffe jemand kann diese Fragen beantworten und es mir erklären. Ich danke Vielmals!

Answer 1

Hallo,

ich bezeichne die 3 Polynome in der Basis \(\mathcal{B}\) in der angegebenen Reihenfolge mit \(b_1,b_2,b_3\)

Wir wollen jetzt das Polynom p bestimmen. Dazu haben wie die Angabe des Koordinatenvektors bezüglich \(\mathcal{B}\) zu Verfügung, nämlich: \((-1,2,1)\). Das bedeutet, es ist

$$p(t)=(-1)b_1(t)+2b_2(t)+1b_3(t)=(-1)(t^2+t)+2(t+1)+1(-1)=-t^2+t+1$$

Gruß Mathhilf