Mengenlehre Lineare Algebra

Question

Aufgabe:

3. Es seien $A, B, C, D$ Mengen, wobei $A$ und $C$ bzw. $B$ und $D$ Teilmengen einer Obermenge $X$ bzw. $Y$ seien. Man zeige:
(a) $(A \times B) \cup(C \times B)=(A \cup C) \times B$.
(b) $(A \times B) \cap(C \times D)=(A \cap C) \times(B \cap D)$.

Problem/Ansatz:

Ich bräuchte hier vielleicht ein bisschen Unterstützung, ein Ausführlicher Rechenweg wäre echt super. Bin gerade erst am Anfang der Mengenlehre und hab so meine Probleme

Answer 1

(a)

Angenommen $(x,y)\in (A\times B)\cup (C\times B)$.

Genau dann $(x,y)\in (A\times B) \vee (x,y)\in (C\times B)$ (Def. Vereinigung).

Genau dann $(x\in A \land y\in B) \vee (x\in C \land y\in B)$ (Def. Kreuzprodukt).

Genau dann $(x\in A \vee x\in C) \land y\in B$ aufgrund des Distributivgesetzes der Logik.

Genau dann $x\in A\cup C \land y\in B$ (Def. Vereinigung).

Genau dann $(x,y)\in (A\cup C)\times B$ (Def. Kreuzprodukt).

(b)

Gleiche Idee wie bei (a): Definitionen der Mengenverknüpfungen über die Logik anwenden und entsprechende Gesetze der Logik nutzen.