Geben Sie eine Basis des Lösungsraums L(A, 0) ⊆ R7 an. Machen Sie die Probe.

Question

Aufgabe:

Sei A:=

1	-2	0	1	3	0	2
0	0	1	4	0	3	-1
0	0	0	0	0	1	0
0	0	0	0	0	0	1

Geben Sie eine Basis des Lösungsraums L(A, 0) ⊆ R7 an. Machen Sie die Probe.

Problem/Ansatz:

Ich stehe irgendwie auf dem Schlauch. wenn ich x_7 = x_6 = 0 setze und x_3 = -4x_4   dann habe ich ja immernoch zu viele Unbekannte, um die Lösungsmenge in Abhängigkeit eines Parameters anzugeben. Übersehe ich etwas oder mache es mir hierbei viel zu schwer? Bekomme einfach keine anständige Lösung hin...

Danke!

Answer 1

Aloha :)

Du kriegst das nicht vernünftig aufgelöst, weil du noch lange nicht zu Ende vereinfacht hast. Du brauchst möglichst viele Spalten, die lauter Nullen und genau eine Eins enthalten.

In der vorletzten Spalte ist da noch was drin, indem du das Dreifache der dritten Zeile von der zweiten Zeile subtrahierst.

In der letzten Spalte rockt der Papst, da kannst du die letzte Zeile zur zweiten Zeile addieren und das Doppelte der letzten Zeile von der ersten Zeile subtrahieren.

Das Ergebnis ist dann:$$\begin{array}{rrrrrrr|c}x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_5 & x_6 & x_7 & =\\\hline1 & -2 & 0 & 1 & 3 & 0 & \pink0 & 0\\0 & 0 & 1 & 4 & 0 & \pink0 & \pink0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\end{array}$$JETZT kannst du die vier Gleichungen nach den isolierten Variablen bequem umstellen:$$x_1=2x_2-x_4-3x_5\quad;\quad x_3=-4x_4\quad;\quad x_6=0\quad;\quad x_7=0$$und eine mögliche Basis angeben:$$\vec x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5\\x_6\\x_7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x_2-x_4-3x_5\\x_2\\-4x_4\\x_4\\x_5\\0\\0\end{pmatrix}=x_2\begin{pmatrix}2\\1\\0\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}+x_4\begin{pmatrix}-1\\0\\-4\\1\\0\\0\\0\end{pmatrix}+x_5\begin{pmatrix}-3\\0\\0\\0\\1\\0\\0\end{pmatrix}$$

Comments

Vielen Dank!

mir war nicht klar, dass ich die übrigen Unbekannten auch einfach unbekannt bleiben lassen kann ^-^

So ergibt es Sinn, danke!

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Die unbekannten Parameter sind die sogenannten "Freiheitsgrade". Jeder Freiheitsgrad entspricht einer Dimension des Lösungsraums. Der Lösungsraum in deinem Beispiel ist 3-dimensional.

Answer 2

Naja, deshalb auch Lösungsraum, wie

$\small \left(\begin{array}{rrrrrrr}1&-2&0&1&3&0&2\\0&0&1&4&0&3&-1\\0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&1\\\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}-3 \; t_1 + 2 \; t_2 - t_3\\t_2\\-4 \; t_3\\t_3\\t_1\\0\\0\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r}0\\0\\0\\0\\\end{array}\right)$

denn im R⁷ mit 4 Gleichungen bleiben mind. 3 Unbestimmte übrig, z.B. x2,x4,x5

weitere Hinweise siehe

https://www.geogebra.org/m/BpqJ28eP#material/kr6aduce