Hallo,
ich verwende die Abkürzung \(s:=\|x\|, t:=\|y\|\)
$$\|\frac{1}{\sqrt{1+s^2}}x-\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}y\| $$
$$\leq \|\frac{1}{\sqrt{1+s^2}}(x-y)\| + |\frac{1}{\sqrt{1+s^2}}-\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}|\|y\|$$
Den ersten Summanden schätzen wir mit \(\|x-y\|\) ab. Zum zweiten
$$|\frac{1}{\sqrt{1+s^2}}-\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}|t=t\left| \frac{\sqrt{1+t^2}-\sqrt{1+s^2}}{\sqrt{1+t^2}\sqrt{1+s^2}}\right|$$
$$=t\left| \frac{t^2-s^2}{\sqrt{1+t^2}\sqrt{1+s^2}(\sqrt{1+t^2}+\sqrt{1+s^2})}\right| \leq |t-s|$$
Für die letzte Ungleichung beachten wir die 3. binomische Formel und die Abschätzung \(|t| \leq \sqrt{1+t^2}\). Schließlich benutzen wir die "Dreiecksungleichung nach unten":
$$|s-t|=| \|x\|-\|y\|| \leq \|x-y\|$$
Insgesamt hätten wir dann L=2.
Gruß pwm
