Taylorreihe bestimmen ohne Ableitungen

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen jeweils die Taylorreihe am Entwicklungspunkt x₀ = 0
(i) f : R → R, f(x) := 1/ (1+x²)
(ii) g : R → R, g(x) := arctan x

Wieso konvergiert die Reihe in diesen Fällen tatsächlich gegen die Funktion?

Wir sollen keine Abbildungen bilden und auch nicht das Restglied abschätzen.

Problem/Ansatz:

Bei der i) wäre mein Ansatz den Bruch umzuschreiben zu 1/ 1- (-x² ) und dann die geometrische Reihe zu nehmen, also von k=0 bis unendlich= (-x)^k . Wäre das korrekt? Wenn nein was soll ich stattdessen machen, wenn ja wie mache ich weiter? Und wie gehe bei dir ii) vor?

Danke

Answer 1

Bei i hast Du die richtige Idee. Bei II entwickke die Ablritung und bilde dann die passende Stammfunktion

Comments

Ok dann weiß ich bei der i) Bescheid.

Bei der ii): wenn ich ableite bekomme ich 1/  x² +1. Wenn ich das aufleite bekomme ich ja logischerweise wieder arctan x. Was bringt mir das bzw worauf soll ich hinaus?

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Ich meinte; Bilder die Stammfunktion von der Taylorreihe der Ableitung

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i)

f(x) = 1 / (1 + x^2) = 1 / (1 - (- x^2))

∑ (k = 0 bis ∞) (- x^2)^k
∑ (k = 0 bis ∞) (-1)^k·x^(2·k)

ii)

d/dx arctan(x) = 1 / (1 + x^2)

∑ (k = 0 bis ∞) (-1)^k/(2·k + 1)·x^(2·k + 1)