Folge auf Konvergenz untersuchen und ggf. Grenzwerte bestimmen

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die angegebene Folge auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert

$\displaystyle x_{n}=\left(\sin \left(\frac{n \pi}{2 n+1}\right), \sqrt{n^{2}+n+1}-\sqrt{n^{2}+1}, \log (n+1)-2 \log \sqrt{n}\right)$ in $\mathbb{R}^{3}$

Problem/Ansatz:

Meine Vermutungen: Die erste divergiert, die zweite konvergiert gegen 0 und die dritte auch. Zustimmung oder Einwände?

Danke.

Answer 1

Aloha :)

$$\sin\left(\frac{n\pi}{2n+1}\right)=\sin\left(\frac{\pink{\frac1n}\cdot n\pi}{\pink{\frac1n}\cdot(2n+1)}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2+\frac1n}\right)\to\sin\left(\frac{\pi}{2+0}\right)=1$$

$$\sqrt{n^2+n+1}-\sqrt{n^2+1}=\frac{(\overbrace{\sqrt{n^2+n+1}}^a-\overbrace{\sqrt{n^2+1}}^b)\pink{(\overbrace{\sqrt{n^2+n+1}}^a+\overbrace{\sqrt{n^2+1}}^b)}}{\pink{(\sqrt{n^2+n+1}+\sqrt{n^2+1})}}$$$$\qquad=\frac{\overbrace{(n^2+n+1)}^{a^2}-\overbrace{(n^2+1)}^{b^2}}{n\sqrt{1+\frac1n+\frac{1}{n^2}}+n\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}=\frac{\green n}{\green n\sqrt{1+\frac1n+\frac{1}{n^2}}+\green n\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}$$$$\qquad=\frac{1}{\sqrt{1+\frac1n+\frac{1}{n^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}\to\frac{1}{\sqrt{1+0+0}+\sqrt{1+0}}=\frac12$$

$$\log(n+1)-2\log(\sqrt n)=\log(n+1)-\log((\sqrt n)^2)=\log(n+1)-\log(n)$$$$\qquad=\log\left(\frac{n+1}{n}\right)=\log\left(1+\frac1n\right)\to\log(1+0)=0$$

Die Folge $(x_n)$ konvergiert also gegen $(1\big|\frac12\big|0)$.

Answer 2

Die erste konvergiert gegen 1, denn wenn du den Bruch im Sinus durch n wegkürzt und dann n nach unendlich laufen lässt, kommt da sin(pi/2) was gleich 1 wäre, die zweite konvergiert nicht gegen 0, aber dritte schon.

Comments

beim Rest würde ich zustimmen.

Zum Glück würdest du nur (unter welcher Bedingung ?) und stimmst nicht wirklich zu.

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Mein Fehler, die zweite konvergiert nicht gegen 0, danke für den Hinweis.

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Danke. Wenn du zweite nicht gegen 0 konvergiert, wegen was dann?