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Aufgabe:

Untersuchen Sie die angegebene Folge auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert

\(\displaystyle x_{n}=\left(\sin \left(\frac{n \pi}{2 n+1}\right), \sqrt{n^{2}+n+1}-\sqrt{n^{2}+1}, \log (n+1)-2 \log \sqrt{n}\right) \) in \( \mathbb{R}^{3} \)


Problem/Ansatz:

Meine Vermutungen: Die erste divergiert, die zweite konvergiert gegen 0 und die dritte auch. Zustimmung oder Einwände?

Danke.

von

2 Antworten

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Aloha :)

$$\sin\left(\frac{n\pi}{2n+1}\right)=\sin\left(\frac{\pink{\frac1n}\cdot n\pi}{\pink{\frac1n}\cdot(2n+1)}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2+\frac1n}\right)\to\sin\left(\frac{\pi}{2+0}\right)=1$$

$$\sqrt{n^2+n+1}-\sqrt{n^2+1}=\frac{(\overbrace{\sqrt{n^2+n+1}}^a-\overbrace{\sqrt{n^2+1}}^b)\pink{(\overbrace{\sqrt{n^2+n+1}}^a+\overbrace{\sqrt{n^2+1}}^b)}}{\pink{(\sqrt{n^2+n+1}+\sqrt{n^2+1})}}$$$$\qquad=\frac{\overbrace{(n^2+n+1)}^{a^2}-\overbrace{(n^2+1)}^{b^2}}{n\sqrt{1+\frac1n+\frac{1}{n^2}}+n\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}=\frac{\green n}{\green n\sqrt{1+\frac1n+\frac{1}{n^2}}+\green n\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}$$$$\qquad=\frac{1}{\sqrt{1+\frac1n+\frac{1}{n^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}\to\frac{1}{\sqrt{1+0+0}+\sqrt{1+0}}=\frac12$$

$$\log(n+1)-2\log(\sqrt n)=\log(n+1)-\log((\sqrt n)^2)=\log(n+1)-\log(n)$$$$\qquad=\log\left(\frac{n+1}{n}\right)=\log\left(1+\frac1n\right)\to\log(1+0)=0$$

Die Folge \((x_n)\) konvergiert also gegen \((1\big|\frac12\big|0)\).

von 124 k 🚀
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Die erste konvergiert gegen 1, denn wenn du den Bruch im Sinus durch n wegkürzt und dann n nach unendlich laufen lässt, kommt da sin(pi/2) was gleich 1 wäre, die zweite konvergiert nicht gegen 0, aber dritte schon.

von 2,2 k

beim Rest würde ich zustimmen.

Zum Glück würdest du nur (unter welcher Bedingung ?) und stimmst nicht wirklich zu.

Mein Fehler, die zweite konvergiert nicht gegen 0, danke für den Hinweis.

Danke. Wenn du zweite nicht gegen 0 konvergiert, wegen was dann?

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