Beweise, dass die Funktion f(x)=x^3-3x+1 genau drei reelle Nullstellen besitzt.

Question

Aufgabe:

$$\text{ (a) Beweise, dass die Funktion } f(x)=x^3-3x+1 \text{ genau drei reelle Nullstellen besitzt.}$$

$$\text{ (b) Folgt aus der Stetigkeit einer Funktion }f:\space \mathbb R \rightarrow \mathbb Q\text{, dass }f \text{ konstant ist?}$$

$$\text{ (c) Zeige: Sei } g: \space \mathbb R \rightarrow \mathbb R \text{ eine stetige Funktion mit } g(x)\rightarrow 0 \text{ für }|x|\rightarrow \infty.\newline \text{ Dann existiert ein }x_0\in \mathbb R \text{ mit } |g(x)|\leq|g(x_0)|\space \forall x\in\mathbb R$$

Aufgabenteil (a) bekomme ich noch hin doch ab (b) scheiter ich, für hilfe wäre ich sehr dankbar.

Answer 1

a)

f(x) = x^3 - 3·x + 1
f'(x) = 3·x^2 - 3 = 0 --> x = -1 ∨ x = 1

f(-1) = 3 → HP(-1 | 3)
f(1) = -1 → TP(1 | -1)

Man hat einen Hoch- über und einen Tiefpunkt unter der x-Achse. Damit hat man

eine reelle Nullstelle im Intervall ]-∞ ; -1[,
eine reelle Nullstelle im Intervall ]-1 ; 1[
und eine reelle Nullstelle im Intervall ]1 ; ∞[.

Skizze

~plot~ x^3-3x+1;{-1|3};{1|-1} ~plot~

Comments

c)

Die Angabe bedeutet doch nur, das die Funktion dann eine niedrigste untere oder eine höchste obere Grenze an einem Funktionswert annimmt.