Bestimmen Sie ob folgende Eigenschaften gelten

Question

Sei K ein Köper. Auf K^5x5 definiert man eine binäre Relation R, indem wir für A,B∈K^5x5 folgendes festlegen: R(A,B): ⇔∃C∈K^5x5 (A=C*B)

Nun soll man entscheiden ob folgende Relation reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. Wie genau muss ich mit der Definition hier arbeiten um zu entscheiden ob genanntes gilt oder nicht?

Answer 1

R(A,B): ⇔∃C∈K5x5 (A=C*B)

reflexiv: Du musst überlegen, ob es ein C gibt mit A=C*A

Das geht mit der Einheitsmatrix.

symmetrisch:  Wenn R(A,B), also : Es gibt C mit A=C*B .

Gibt es dann auch ein D mit B = D*A ?? Im Falle : " C invertierbar "

geht das wohl, dann ist D = C^(-1), aber sonst ?

transitiv: Wenn R(A,B) und  R(B,C)

==>    Es gibt X und Y mit A=X*B und B=Y*C

also A=X*(Y*C ) = (X*Y)*C   also R(A,C) .