Differentialgleichungssysteme lösen

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Aufgabe:

Hallo!

Ich soll folgende Differentialgleichungssysteme bestimmen. Der Ansatz sollte so passen, aber ich komme nicht auf die Lösung, da ich für 2x denselben Eigenwert (Lambada=1) rausbekommen habe. Kann das so stimmen?

Problem/Ansatz:

i) $y_{1}^{\prime}=y_{1}+e^{x}$
$y_{2}^{\prime}=y_{1}+y_{2}-e^{x}$
$\left(\begin{array}{l}y_{1} \\ y_{2}\end{array}\right)^{\prime}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 1 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}y_{1} \\ y_{2}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}e^{x} \\ -e^{x}\end{array}\right)$
$\begin{aligned} \operatorname{det}\left(\begin{array}{cc}1-\lambda & 0 \\ 1 & 1-\lambda\end{array}\right)=(1-\lambda)(1-\lambda) &=1-\lambda-\lambda+\lambda^{2} \\ &=\lambda^{2}-2 \lambda+1 \end{aligned}$
$=\lambda^{2}-2 \cdot 1 \lambda+\lambda$
$\underset{\substack{\text { Quadratisch } \\ \text { erganzen }}}{ }=(\lambda-1)^{2} {-1+1} =0$
$(\lambda-1)^{2}=0 \Leftrightarrow|\lambda-\lambda|=0$
1. F: $\quad \lambda-1 \geqslant 0$
$\lambda-1=0 \Leftrightarrow \lambda=1$
2. F $\quad \lambda-1<0$
$\lambda-1=0 \Longleftrightarrow \lambda=1$

$\lambda=1\left(\begin{array}{ll|l}0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right) \leadsto\left(\begin{array}{cc|c}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$
$\Longrightarrow E r=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right)$
$y_{n}=c_{1} \cdot e^{x}\left(\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right)+c_{2} \cdot e^{x}\left(\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right)$
$\psi=\left(\begin{array}{cc}0 & 0 \\ e^{x} & e^{x}\end{array}\right)$
$\left(\begin{array}{cc}0 & 0 \\ e^{x} & e^{x}\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}c_{1}^{\prime} \\ c_{2}^{\prime}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}e^{x} \\ -e^{x}\end{array}\right)$
$c_{1}^{\prime}=\frac{\operatorname{det}\left(\begin{array}{cc}e^{x} & 0 \\ -e^{x} & e^{x}\end{array}\right)}{\operatorname{det}\left(\begin{array}{cc}0 & 0 \\ e^{x} & e^{x}\end{array}\right)}=\frac{e^{2 x}}{0}$