Grenzwerte von Funktionen zweier Variablen bestimmen

Question

Aufgabe:

(i) \( \lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{4}+y^{4}}{x^{2}+y^{2}} \)
(ii) \( \lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2} y}{x^{4}+y^{2}} \)

Problem/Ansatz:

Ich habe absolut keine Ahnung wie man den Grenzwert mit zwei Variablen bestimmt und finde komischer Weise auch nicht ein vernünftiges Video dazu.

Meine Lösung zu (i) wäre 0, aber das ist gefreestyled. Bei (ii) hab ich keine Ahnung wie ich vorgehen könnte.

Answer 1

(i)  Für alle \((x,y)\ne(0,0)\) gilt$$\quad0<\frac{x^4+y^4}{x^2+y^2}\le\frac{x^4+2x^2y^2+y^4}{x^2+y^2}=\frac{{(x^2+y^2)}^2}{x^2+y^2}=x^2+y^2.$$Daraus folgt \(\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^4+y^4}{x^2+y^2}=0\).$$$$(ii)  Für \(y=x^2\ne0\) gilt \(\dfrac{x^2y}{x^4+y^2}=\dfrac12\) und für \(y=-x^2\ne0\) gilt \(\dfrac{x^2y}{x^4+y^2}=-\dfrac12\).
Deswegen existiert der Grenzwert \(\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2y}{x^4+y^2}\) nicht.