Bestimmen Sie alle Punkte, die jeweils den selben Abstand zu den parallelen Geraden haben.

Question

Guten Morgen, während meiner Prüfungsvorbereitung komme ich bei folgender Aufgabe nicht weiter und bitte um die Lösung:

Aufg. 4 Ebenen: Konstruktion
Bestimmen Sie alle Punkte, die jeweils den selben Abstand zu den parallelen Geraden
\( g_{1}: \vec{r}\left(\lambda_{1}\right)=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 6 \\ -3 \end{array}\right)+\lambda_{1} \cdot\left(\begin{array}{c} 3 \\ -3 \\ 2 \end{array}\right) \text { und } g_{2}: \vec{r}\left(\lambda_{2}\right)=\left(\begin{array}{c} -3 \\ 2 \\ -7 \end{array}\right)+\lambda_{2} \cdot\left(\begin{array}{c} 9 \\ -9 \\ 6 \end{array}\right) \)
haben. Alle diese Punkte zusammen beschreiben eine Ebene. Welche? Stellen Sie die Ebene in Parameterform auf.

Vielen Dank im Voraus für die Hilfe.


Liebe Grüße

Sevi

Answer 1

Das ist die Ebene, die die Gerade in der Mitte zwischen g1 und g2 enthält

und zu der durch g1 und g2 bestimmten Ebene senkrecht ist.

Da kannst du als einen Spannvektor z.B. \( \vec{u}=\left(\begin{array}{c} 9 \\ -9 \\ 6 \end{array}\right) \)nehmen.

Für den zweiten bilde zunächst \( \vec{v}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 6 \\ -3 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{c} -3 \\ 2 \\ -7 \end{array}\right)\), der liegt in der durch g1 und g2 bestimmten Ebene und nimm dann das

Vektorprodukt von \( \vec{u} \) und \( \vec{v} \).

Für einen Stützvektor ist jeder Mittelpunkt einer Strecke von einem Punkt

von  g1 zu einem von g2 geeignet, z.B.   \( \frac{1}{2} \cdot (\left(\begin{array}{c} 1 \\ 6 \\ -3 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} -3 \\ 2 \\ -7 \end{array}\right))\)