Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen? Hesse Matrix Funktion

Question

Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung der Funktion

$f\left(x_{1}, x_{2}\right)=2-4 x_{2}+5 x_{1}^{2}+2 x_{1} x_{2}+8 x_{2}^{2}-1 x_{1}^{2} x_{2}+3 x_{2}^{3}$
an der Stelle $\left(x_{1}, x_{2}\right)=(0,1)$

Die Hesse-Matrix $f^{\prime \prime}(0,1)$ hat folgende Einträge:
Die Determinante dieser Hesse-Matrix beträgt:
An dieser Stelle ist die Funktion:
Auswählen...

Und An dieser Stelle ist die Funktion: konkav, konvex, weder konkav noch konvex

Comments

Würde mich über jede Hilfe freuen…

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Welche Hilfe brauchst Du? Weißt Du nicht was eine partielle Ableitung ist, bzw. wie man sie berechnet?

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wie kommt man auf die hesse matrix?

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Die Hesse-Matrix besteht aus den partiellen Ableitungen zweiter Orndung. Schau Dir die Definition in Deinem Lehrmaterial an oder im WEB, wie dieser verteilt sind.

Answer 1

Aloha :)

Wir betrachten die Funktion:$$f(x;y)=2-4y+5x^2+2xy+8y^2-x^2y+3y^3$$

Der Gradient lautet:$$f'(x;y)=\operatorname{grad}f(x;y)=\begin{pmatrix}\partial_xf\\\partial_yf\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10x+2y-2xy\\-4+2x+16y-x^2+9y^2\end{pmatrix}$$

Die Hesse-Matrix lautet:$$f''(x;y)=\begin{pmatrix}\partial_x\operatorname{grad}f(x;y)\\\partial_y\operatorname{grad}f(x;y)\end{pmatrix}=\left(\begin{array}{rr}10-2y & 2-2x\\2-2x &16+18y\end{array}\right)$$

Speziell an der Stelle $(0;1)$ erhalten wir:$$f''(0;1)=\left(\begin{array}{rr}8 & 2\\2 & 34\end{array}\right)\quad\implies\quad\operatorname{det}f''(0;1)=8\cdot34-4=268$$

Die Hesse-Matrix ist an der Stelle $(0;1)$ positiv definit, da ihre Hauptminoren $8$ und $268$ beide positiv sind. Das heißt, an dieser Stelle ist die Funktion konvex.