alternative Darstellung des Skalarprodukts

Question

Hallo;

Ich hätte eine Frage zum Thema Vektoren:

WIr haben eine alternative Darstellung des
Skalarproduktes:

| \( \vec{a} \) | · | \( \vec{b} \) | cos(α) = 1/2 (| \( \vec{a} \) |² + | \( \vec{b} \) |² - | \( \vec{b} \) - \( \vec{a} \) |² )

Die rechte Seite soll mit: \( \vec{a} \)= (a1, a2, a3) und  \( \vec{b} \)= (b1, b2, b3) zur DArstellung des Skalarprodukts vereinfacht werden.

Würde mich über eure Hilfe freuen

Grüße

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Das Betragsquadrat eines Vektors ist gleich dem Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst, denn es gilt:$$|\vec x|^2=\left(\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}\right)^2=x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2=\vec x^2$$

Daher kannst du in der Gleichung von der rechten Seite ausgehen und diese wie folgt vereinfachen:$$\frac{|\vec a|^2+|\vec b|^2-|\vec b-\vec a|^2}{2}=\frac{\vec a^2+\vec b^2-(\vec b-\vec a)^2}{2}=\frac{\vec a^2+\vec b^2-(\vec b^2-2\vec a\vec b+\vec a^2)}{2}=\frac{2\vec a\vec b}{2}=\vec a\vec b$$

Die Formel für das Skalarprodukt:$$\vec a\cdot\vec b=a\cdot b\cdot\cos\langle(\vec a;\vec b)$$sollte bekannt sein und lierfert schließlich den gefoderten Zusammenhang.