0 Daumen
659 Aufrufe

Hallo;

Ich hätte eine Frage zum Thema Vektoren:

WIr haben eine alternative Darstellung des
Skalarproduktes:

| a \vec{a} | · | b \vec{b} | cos(α) = 1/2 (| a \vec{a} |2 + | b \vec{b} |2 - | b \vec{b} a \vec{a} |2 )

Die rechte Seite soll mit: a \vec{a} = (a1, a2, a3) und  b \vec{b} = (b1, b2, b3) zur DArstellung des Skalarprodukts vereinfacht werden.


Würde mich über eure Hilfe freuen

Grüße

Avatar von

1 Antwort

0 Daumen
 
Beste Antwort

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Das Betragsquadrat eines Vektors ist gleich dem Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst, denn es gilt:x2=(x12+x22++xn2)2=x12+x22++xn2=x2|\vec x|^2=\left(\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}\right)^2=x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2=\vec x^2

Daher kannst du in der Gleichung von der rechten Seite ausgehen und diese wie folgt vereinfachen:a2+b2ba22=a2+b2(ba)22=a2+b2(b22ab+a2)2=2ab2=ab\frac{|\vec a|^2+|\vec b|^2-|\vec b-\vec a|^2}{2}=\frac{\vec a^2+\vec b^2-(\vec b-\vec a)^2}{2}=\frac{\vec a^2+\vec b^2-(\vec b^2-2\vec a\vec b+\vec a^2)}{2}=\frac{2\vec a\vec b}{2}=\vec a\vec b

Die Formel für das Skalarprodukt:ab=abcos(a;b)\vec a\cdot\vec b=a\cdot b\cdot\cos\langle(\vec a;\vec b)sollte bekannt sein und lierfert schließlich den gefoderten Zusammenhang.

Avatar von 153 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage