Zeigen Sie, dass für alle n ∈ N gilt

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass für alle n ∈ N gilt

$\left(\begin{array}{cc}0 & -1 \\ 1 & 0\end{array}\right)^{4 n}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)$.

Problem/Ansatz:

… wie kann ich diese Gleichung zeigen ?

Answer 1

Entweder stehst du auf dem Schlauch oder ich, denn egal, was du für n einsetzt, was in n∈ℕ liegt, es wird ja nie zur Matrix rechts von der Gleichung

Comments

Was soll denn $\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}^{\!4}$ sein, wenn es nicht $\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ ist?

Answer 2

Mittels Induktion:

Induktionsanfang: Setze n=1 und rechne die linke Seite aus, damit du die rechte Matrix bekommst.

Induktionsannahme: die Gleichung nimmst du an, dass die gilt.

Induktionsschritt: Setze n = n+1.

Dann musst du zeigen, dass gilt (ich nenne die Matrizen mal A und I, letztere ist die Einheitsmatrix):

A^(4*(n+1)) = I

Mittels Potenzgesetze kannst du sehen:

A^(4*(n+1))= A^(4n+4) = A^(4n) * A⁴

und A^(4n) ersetzt du durch I wegen der Induktionsannahme und A⁴ hast du wegen des Ind.anfangs raus, am Ende kommt nochmal die Matrix I raus, weswegen die Gleichung auch für n+1 gilt.