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Aufgabe: Finde alle Primzahlen P, für die 96 ein quadratischer Rest mod P sind


Problem/Ansatz: Ich habe leider keinen Ansatz für die Aufgabe und würde mich über jede Hilfe freuen. :)

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\( x \) ist ein quad. Rest modulo \(p\) \( \iff \) \( p \nmid x \) und \( \exists y : y^2 \equiv x \mod (p) \).

Es ist \( 96 = 2^5 \cdot 3 \), also ist 96 kein quadratischer Rest modulo 2 und modulo 3. Sei \( p \ge 5 \), dann ist 96 genau dann ein quadratischer Rest modulo p, wenn das Legendre -Symbol "96 über p" gleich 1 ist. $$ \left(\frac{96}{p}\right) = 1 $$ Das Legendre-Symbol ist mulitplikativ: $$ \left(\frac{96}{p}\right) = \left(\frac{2}{p}\right)^5 \left(\frac{3}{p}\right) $$ Da \( p \nmid 2 \) und \( p \nmid 3 \) gilt: $$ \left(\frac{2}{p}\right), \left(\frac{3}{p}\right) \in \{ \pm 1 \}, \text{ insb. } \left(\frac{2}{p}\right)^4 = 1 $$ Wir erhalten als Kriterium also die etwas einfachere Aussage: $$ \left(\frac{2}{p}\right) \left(\frac{3}{p}\right) = 1 $$ Die Gleichheit gilt, falls entweder beide Faktoren = 1 oder beide Faktoren = -1 sind.

Betrachten wir nun die beiden Faktoren. Der zweite Ergänzungssatz des quadratischen Reziprozitätsgesetz besagt: $$ \left(\frac{2}{p}\right)= (-1)^{\frac{p^2-1}{8}} = \begin{cases} 1, & p\equiv 1,7 \mod (8)\\-1, &p \equiv 3,5 \mod (8) \end{cases} $$ Mit dem quadratischen Reziprozitätsgesetz an sich, erhält man für den zweiten Faktor die Beziehung: $$  \left(\frac{3}{p}\right) = (-1)^{\frac{p-1}{2}} \left(\frac{p}{3}\right) $$

Dieser ist gleich 1 wenn beide Faktoren =1 oder =-1 sind, d.h. falls $$ (p\equiv 1\mod(4) \land p \equiv 1 \mod(3) ) \lor (p\equiv 3\mod(4) \land p \equiv 2 \mod(3) ) $$ und -1, wenn ein Faktor =1 ist und der andere dann =-1, also falls $$ (p\equiv 1\mod(4) \land p \equiv 2 \mod(3) ) \lor (p\equiv 3\mod(4) \land p \equiv 1 \mod(3) ) $$

Und jetzt muss man diese Kongruenzsysteme lösen, ich gebe nur die Kontrollergebnisse an:

$$ p\equiv 1\mod(4) \land p \equiv 1 \mod(3) \iff p \equiv 1 \mod (12) $$ $$ p\equiv 3\mod(4) \land p \equiv 2 \mod(3) \iff p \equiv 11 \mod (12) $$ $$ p\equiv 1\mod(4) \land p \equiv 2 \mod(3) \iff p \equiv 5 \mod (12) $$ $$ p\equiv 3\mod(4) \land p \equiv 1 \mod(3) \iff p \equiv 7 \mod (12) $$

Zusammengefasst also $$  \left(\frac{3}{p}\right) = \begin{cases} 1, & p\equiv 1,11 \mod (12)\\-1, &p \equiv 5,7 \mod (12) \end{cases} $$

Jetzt setzen wir alles zusammen:

96 ist ein quadratischer Rest modulo p, falls: $$ p \equiv 1,7 \mod (8) \land p \equiv 1,11 \mod (12) $$ (beide Faktoren = 1) oder $$ p \equiv 3,5 \mod (8) \land p \equiv 5,7 \mod (12) $$ (beide Faktoren =-1).

Diese Systeme löst man wieder und erhält insgesamt: $$ \left(\frac{96}{p}\right) = 1 \iff p \equiv 1,5,19,23 \mod (24) $$

von 1,3 k

Super! Danke für die ausführliche Antwort! :)

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