Antisymmetrie von Relation zeigen/ausschließen

Question

$$\text{Betrachten Sie jeweils die Menge M mit der Relation } \sim$$

$$\text{ und entscheiden Sie, ob die Relation reflexiv, symmetrisch, antisymmetrisch oder transitiv ist.}$$

$$M=\mathbb{Z} ; a \sim b \text { genau dann, wenn } a=b+1 \text {. }$$

Ich verstehe hier nicht ganz wie ich die antisymmetrie zeigen bzw ausschließen kann, kann mir da jemand helfen?

Answer 1

Antisymmetrie würde bedeuten, dass für alle \(a,b\in \mathbb{Z}\) aus \(a\sim b \, \land \, b\sim a\) folgte, dass \(a=b\). Also, auf dein Beispiel bezogen:

Aus \(a=b+1\) und \(b=a+1\) folgt, dass \(a=b\). Das gilt natürlich nicht, denn dann wäre \(a=a+1+1=a+2 \Rightarrow 0=2\). Widerspruch!

Comments

Natürlich, da hätte ich auch echt selbst drauf kommen können. Hatte irgendwie Probleme mir die antisymmetrie wirklich klar zu machen, jetzt hab ich es verstanden, das wird mir bestimmt in zukünftigen Aufgaben auch sehr helfen. Vielen Dank!

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Bei Antisymmetrie kann man immer an Ordnungsrelationen denken. Z. B. ist die Relation \(\leq\) antisymmetrisch, denn aus \(x\leq y\) und \(y \leq x\) folgt, dass \(x=y\). Und, aufpassen: Asymmetrie gibt's auch, das ist aber etwas anderes.