Algebraisches Problem: Mit welchen Rechenschritten kommt man von (1) und (2) nach (3)?

Question

Aufgabe:

Algebraisches Problem: Mit welchen Rechenschritten kommt man von (1) und (2) nach (3)?

Problem/Ansatz:

Die beiden Gleichungen (1) und (2) sind in (3) nach cos z aufgelöst.

(1) sin δ = sin φ • cos z − cos φ • sin z • cos a

(2) sin φ = sin δ • cos z + cos δ • sin z • cos γ

(3) cos z = [ sin δ • cos δ • cos γ + sin φ • cos φ • cos a] / [ sin φ • cos δ • cos γ + cos φ • sin δ • cos a]

Der Kontext ist die Berechnung eines Nautischen Dreiecks, wobei z für (90° − h) steht.

Answer 1

Gleichung (1) nach \(\sin z\) auflösen. In Gleichung (2) einsetzen und nach \(\cos z\) auflösen.

Comments

Danke! Das leuchtet mir theoretisch sofort ein, aber wenn ich an die Rechnung gehe, sehe ich, dass dies das Einfache ist, das schwer zu machen ist. Ich komme bis zum Einsetzen von sin z in die zweite Gleichung, aber dann bleibe ich stecken. Kannst du mir weiterhelfen?

Text erkannt:

\( 8.12 .22 \)
(1) \( \sin \delta=\sin \varphi \cdot \cos 2-\cos \varphi \cdot \sin 2 \cdot \cos a \)
(2) Nach \( \sin 2 \) ayflisen durd Division mit \( \cos \varphi \). \( \cos a \) :
(3) \( \frac{\sin \delta}{\cos \varphi \cdot \cos a}=\frac{\sin \varphi \cdot \cos 2}{\cos \varphi \cdot \cos a}-\frac{\cos \varphi \cdot \cos \theta \cdot \sin 2}{\cos \varphi \cdot \cos a} \)
(4) \( \frac{\sin \delta}{\cos \varphi \cdot \cos \theta}-\frac{\sin \varphi \cdot \cos 2}{\cos \varphi \cdot \cos a}=-\sin 2 \quad 1 \cdot-1 \)
(5) \( \frac{\sin \varphi \cdot \cos 2-\sin \sin \delta}{\cos 4 \cdot \cos a}=\sin 2 \)
(6) Don Term fin sin 2 in Gleedfy 2 einsetzen:
Gleidy \( 2: \sin \varphi=\sin \delta \cdot \cos 2+\cos \delta \cdot \sin 2 \cdot \cos \gamma \)
(7) Zunst Gleicly 2 nach \( \cos 2 \) auploson 1 : sin \( \delta \)
(8) \( \frac{\sin \varphi}{\sin \delta}=\frac{\sin \gamma \cdot \cos 2}{\sin \delta}+\frac{\cos \delta \cdot \cos \gamma \cdot \sin 2}{\sin \delta} \)
(9) \( \frac{\sin \varphi}{\sin \delta}-\frac{\cos \delta \cdot \cos \gamma \cdot \sin 2}{\sin \delta}=\cos 2 \)
(10) \( \cos 2=\frac{\sin \varphi-\cos \delta \cdot \cos \gamma \cdot \sin 2}{\sin \delta} \mid(5) \sin \sin 2 \)
(i1) \( \cos 2=\frac{\sin \varphi-\cos \delta \cdot \cos \gamma \cdot \frac{\sin \varphi \cdot \cos 2)-\sin \delta}{\cos \varphi \cdot \cos a}}{\sin \delta} \)
Wic geht an hier waiter?
Dis richlige losing soll lauten
\( \cos 2-\frac{\sin \delta \cdot \cos \delta \cdot \cos \gamma+\sin \varphi \cdot \cos \varphi \cdot \cos a}{\sin \varphi \cdot \cos \delta \cdot \cos \gamma+\cos \varphi \cdot \sin \gamma \cdot \cos a} \)