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Aufgabe:

Untersuche sie mit dem Monotoniekriteritum die Funktion f auf Monotonie-Intervalle.

f(x)= x-e-2x

Problem/Ansatz:

Wie rechnet man diese Aufgabe?

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Aloha :)

Über das Monotonieverhalten einer Funktionf(x)=xe2xf(x)=x-e^{-2x}gibt das Vorzeichen der ersten Ableitung Auskunft:f(x)=1e2x(2)=1+2e2x>1f'(x)=1-e^{-2x}\cdot(-2)=1+2e^{-2x}>1Da die Exponentalfunktion ee^\cdots stets positiv ist, ist f(x)>1f'(x)>1, also positiv.

Die Funktion f(x)f(x) ist daher auf ganz R\mathbb R streng monoton wachsend.

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f1(x) = x-e^(-2x)Zoom: x(-1…10) y(-5…10)


Avatar von 153 k 🚀

Muss man nicht f' null setzen, damit man weiß ob kleiner oder größer null?

Streng genommen schon, aber e2xe^{-2x} ist immer >0>0. Wenn du dann noch 11 dazu addierst, ist das immer >1>1. Daher istf(x)=1+2e2x>1f'(x)=1+2e^{-2x}>1sogar immer größer 11. Daher kannst du dir das Nullsetzen sparen. Die Ableitung kann ja nicht gleich Null werden, weil sie immer größer als 1 ist. Das heißt, die Funktion ist streng monoton wachsend.

Kurzer Hinweis: An der Stelle 1+22x>11+2^{-2x}>1 scheint ein ee zu fehlen.

Danke dir... Habe es ergänzt ;)

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