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Schönen Guten Abend Liebe Nutzer,

ich wünsche euch vorab Allen erstmal ein Frohes Neues Jahr, hoffe jeder ist gut rein gekommen.

Ich habe unten ein Aufgabenzettel eingescannt und anschließend meine Rechnung zu Aufgabe 1. Ich glaube Nr. 1a 1 habe ich soweit richtig gerechnet. Bei Aufgabe 1 a 2 war ich mir jedoch nicht Sicher und habe deshalb auf der zweiten Seite angefangen zurechnen. Aufgabe 1 a 3 sollte ich auch schaffen.

Meine Bitte: Könnte jemand die Aufgaben auf Richtigkeit prüfen und mir bei der Aufgabe 1 a 2 Helfen. Zudem bin ich bei den weiteren Aufgaben (b,c,d) ratlos und bitte ebenfalls um Hilfe und rechen Ansätze.

Vielen Dank vorab :)

Aufgabenstellung

 

Aufgabe 1

Aufgabe 1 Teil 2

 

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Beste Antwort

Was du gerechnet hast hat soweit Hand und Fuß, nur im letzten Schritt hast du einen Fehler gemacht: Wenn du aus

-1/2 x3 + x

ein x ausklammerst, dann darfst du die 1 nicht vergessen!

-1/2 x3 + x = x*(-1/2 x² + 1)

Damit bekommst du die eine Lösung x = 0, die du bereits genannt hast aber noch zwei weitere, die sich aus den Nullstellen des zweiten Faktors ergeben

0 = -1/2 x² + 1

x² = 2

x = ±√2

Wegen der Symmetrie der Funktion reicht es nun den Höhenunterschied für eine Funktion auszurechnen, also zu zeigen, dass

|f(0) - f(√2)| = 0.5

gilt. Das ist sehr leicht auszurechnen und du wolltest ja nur Ansätze haben... :-)

 

b) Hier brauche ich nun das Schaubild der Funktion, deswegen reiche ich es gleich mal nach, gemeinsam mit dem gewünschten Trapez:

Das braune ist die Kunststoffplatte, aus der der Zahn ausgeschnitten werden soll.

Die Grundseite kennen wir bereits:
AB = 4*√2

Außerdem wissen wir die y-Koordinate der Punkte D und E:
y = f(√2) = 4.5

 

Jetzt brauchen wir noch die Funktion der Tangenten im Punkt A, dann können wir die x-Koordinate von D ausrechnen und kennen dann die Höhe h und die Länge der beiden parallelen Seiten a und c des Trapezes und können gemäß

A = h*(a+c)/2

den Flächeinhalt ausrechnen.

 

Die Tangente besitzt zwei charakteristische Größen:

I.  t(-2√2) = 0

II. t'(-2√2) = f'(-2√2)

Da sie eine lineare Funktion ist, können wir sie also in der Form

t(x) = m*(x+2√2)

schreiben, wobei m = f'(-2√2) gilt.

f'(x) = -1/2 x3 + x
f'(-2√2) = 1/2*16*√2 -2√2 = 6√2

Die Tangente lautet also: t(x) = 6√2*(x+2√2)

Um die x-Koordinate xD von D zu ermitteln, muss t(xD) = 9/2 gesetzt werden:

9/2 = 6√2*(xD+2√2)

3/(4√2) = xD + 2√2

xD = -2√2 + 3/(4√2) ≈ -2.2981

Damit erhält man c = 2*|xD| = |3/(2√2) - 4√2| ≈ 4.5962

Wir haben jetzt also c und außerdem

a = 4√2
h = 9/2

Damit folgt:
A = 9/2*(4√2 + |3/(2√2) - 4√2|)/2

A ≈ 23.07 m²

 

Um den Materialverlust auszurechnen musst du nun die Fläche AZ des Zahns ausrechnen, indem du die Funktion f(x) zwischen ihren beiden Nullstellen integrierst.

Az = ∫ab f(x) dx

a = -2√2
b = 2√2

Den prozentualen Verlust erhält man dann gemäß:

p = (A-Az)/A

 

c) Hier soll das maximale Rechteck der folgenden Form gefunden werden:

 

Das wird am Besten abhängig von der x-Komponente des Punktes B berechnet:
Das Rechteck hat dann den Flächeninhalt:

AR(x) = 2x*f(x)
AR(x) = -1/4 x5 + x3 + 8x

Für einen Extremwert wird AR'(x) = 0 gesetzt und die möglichen Lösungen berechnet.

Man erhält die Lösung x = 2, für die Breite also x = 4. (Rechne das nach!)

 

d) Für einen flüssigen Übergang ohne Knick müssen im Übergangspunkt nicht nur die Funktionswerte, sondern auch die Ableitungen übereinstimmen. Allerdings ist f(x) nach dem Übergangspunkt eine steigende Funktion und die Unterseite (ich nenne sie mal h(x) eine fallende Funktion. Daraus folgt, dass ein flüssiger Übergang nur für eine senkrechte Tangente, also eine unendlich große Steigung möglich ist.
Ganzrationale Funktionen sind aber auf ganz ℝ differenzierbar, insbesondere ist ihre Steigung auf einem abgeschlossenen Intervall also beschränkt. Daraus folgt, dass eine ganzrationale Funktion keinen solchen Punkt mit unendlich hoher Steigung geben kann, also ist immer ein Knick im Übergang.

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Vielen Dank für die schnelle Antwort.

Wirklich sehr hilfsam. Eine Frage hätte ich zu der ersten Grafik bei Aufgabe b)

Dort sind jetzt die Punkte A,B,D,E eingezeichnet.  Wohin bzw. Wo ist der Punkt C ?

 

Mfg
Oh, da bin ich ein bisschen mit den Bezeichnungen meiner Punkte durcheinander gekommen.
Ich hatte die Grafik erst ohne Farben, das war aber sehr unübersichtlich, ich überarbeite das mal schnell. Schau doch in ein paar Minuten nochmal vorbei!
So, ich habe jetzt im Text die Namen der Punkte angepasst - ich hoffe, es verwirrt dich nicht, dass die Punkte im Bild weiter A, B, D, E heißen: die Namen sind ja sowieso nicht so wichtig, es geht nur darum, dass immer klar ist, welcher Punkt gemeint ist.
0 Daumen

Mal zu dem, was du da begonnen hast:

Als Nullstellen sollten ±2√2 rauskommen.

- 0.5 x^3 + x =0

- 0.5 x(x^2 - 2) = 0

x1 = 0 . lokales Minimum f(0) = 4

x2 = √2, x3 = - √2 lokale Maximalstellen.

f(±√2) = -1/8* 4 + 1/2 * 2 + 4 = -0.5 + 1 + 4 = 4.5

4.5 - 4 = 0.5 also der verlangte Höhenunterschied von 0.5 Metern.

 

 

Beantwortet von 142 k

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