cosh z besitzt für jedes z ∈ ℂ die folgende absolut konvergente Reihenentwicklung?

Question

Gegeben ist Cosinus hyperbolicus

Aufgabe:
cosh z besitzt für jedes z ∈ ℂ die folgende absolut konvergente Reihenentwicklung?
\(\text{cosh }z = \sum \limits_{k=0}^{\infty}\frac{z^{2k}}{(2k)!}\)

Problem/Ansatz:
Muss ich da einfach etwas mit der Taylorreihe rechnen?
Weiß nicht genau, wie ich es zeigen soll.
Danke für jede Hilfe :)

Answer 1

Du nimmst einfach die Exponentialreihe \(e^w = \sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{w^n}{n!}\) und setzt sie ein in die Definition

$$\cosh z = \frac{e^z+e^{-z}}2$$

Etwas rumrechnen, fertig.

Du kannst natürlich auch die Taylor-Reihe entwickeln und dann zeigen, dass ihr Konvergenzradius unendlich ist.

Ergänzung:

$$\frac 12\left(\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!} + \sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-z)^n}{n!}  \right)  = \frac 12\left(\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!} + \sum \limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{z^n}{n!}  \right)$$

$$= \frac 12\left(\sum \limits_{\stackrel{n=0}{n\; gerade}}^{\infty}2\frac{z^n}{n!}\right) \stackrel{n=2k}{=} \sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^{2k}}{(2k)!}$$

Comments

Bin irgendwie bei \(\frac{1}{2}\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}+\frac{n!}{x^{n}}\) gelandet und komme nicht weiter.

Ich habe glaube ein Fehler gemacht xd

Könnten Sie mir da weiterhelfen ?

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Geht klar. Ich ergänze meine Lösung in paar Minuten.

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vielen dank :)

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Warum fällt die (-1)ⁿ weg? Ich verstehe das nicht ganz und danke für die Ergänzung

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Schreib das doch mal für die ersten 4 Glieder auf.

Wenn n ungerade ist, dann ist \((-1)^n = -1\). Dann hast du \(\frac{z^n}{n!}-\frac{z^n}{n!} = 0\) Wenn n gerade ist, dann ist \((-1)^n = 1\). In dem Fall hast du \(\frac{z^n}{n!}+\frac{z^n}{n!} = 2\frac{z^n}{n!}\)

Wenn man noch unerfahren mit Reihenoperationen ist, sollte man immer ein paar Reihenglieder aufschreiben, um ein Gefühl dafür zu bekommen.

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ups, ja ist logisch
Danke!