Matrizen + Eigenvektor + Eigenraum + Eigenwert

Question

Aufgabe:

a) Bestimmen sie die Lösungen der nachfolgenden Gleichungen:

b) Bestimmen sie die (gegebenenfalls komplexen) Eigenwerte und die zugehörigen (gegebenenfalls komplexen) Eigenräume der folgenden Matrizen:

Geben sie zudem bei Teil (b)(ii) zu jedem Eigenwert einen zugehörigen normierten Eigenvektor, das heißt einen Eigenvektor der Länge 1 an.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe leider nicht wie ich hier verfahren soll, hätte bitte jemand evtl. hierfür Lösungs- und Rechenwege parat wenn es möglich ist?

Answer 1

Wenn man auf Eigenwerte/Eigenvektoren los geht sollte man lineare Gleichungssysteme lösen können?

a)

i) λ=-3 ist Eigenwert (EW), also ist die Lösung des LGS der Eigenvektor

ii) λ=1 dito

Berechnung EW und Eigenvektoren siehe

https://www.geogebra.org/m/BpqJ28eP#material/upUZg79r

z.B. b) ii)

A:= {{5, 2,3}, {2,-1,0},{2,2,2}}

A - λ id = 0

$\small \left(\begin{array}{rrrr}\lambda=&-1&\left(\begin{array}{rrr}6&2&3\\2&0&0\\2&2&3\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\\end{array}\right) = 0\\\lambda=&0&\left(\begin{array}{rrr}5&2&3\\2&-1&0\\2&2&2\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\\end{array}\right) = 0\\\lambda=&7&\left(\begin{array}{rrr}-2&2&3\\2&-8&0\\2&2&-5\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\\end{array}\right) = 0\\\end{array}\right)$

==> Eigenvektoren

$\small ER \, := \, \left(\begin{array}{rrr}0&\frac{-1}{3}&2\\\frac{-3}{2}&\frac{-2}{3}&\frac{1}{2}\\1&1&1\\\end{array}\right)$