Integral mit Subtitution und Parzialbruchzerlegung

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

$\int \frac{1}{x+\sqrt{x^{2}-x+1}} d x \quad t=x+\sqrt{x^{2}-x+1}$

Man soll folgendes Integral mit HIlfe der angegebenen Substitution lösen.

Problem/Ansatz:

Als Hinweis sind die Substitution gegeben und das man dannach noch Parzialbruchzerlegung machen soll.

Text erkannt:

$\int \frac{1}{x+\sqrt{x^{2}-x+1}} d x \quad t=x+\sqrt{x^{2}-x+1} \quad \frac{d t}{d x}=1+\frac{2 x-1}{2 \sqrt{x^{2}-x+1}}$
$=\frac{1}{\frac{2 \sqrt{x^{2}-x+1}+2 x-1}{2 \sqrt{x^{2}-x+1}}} d t$
$=\frac{2 \sqrt{x^{2}}-x+1}{2\left(x+\sqrt{x^{2}-x+1}\right)-1} d t$
$\int \frac{1}{t} \cdot \frac{2 \sqrt{x^{2}-x+1}}{2\left(x+\sqrt{x^{2}-x+1}\right)-1} d t$
$=\int \frac{1}{t} \cdot \frac{2 \sqrt{x^{2}-x+1}}{2+-1}$

Das kommt bei mir bei der substitution raus, das kann doch aber nicht sein oder? Weil so wäre ja im Intergral der Term noch von x abhängig, obwohl ich das substituieren wollte.

Kann mir da jemand weiter helfen? Würde mich über jede Hilfe freuen :)

Comments

https://www.integralrechner.de/

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Ja, vielen Dank, auf der Seite war ich tasächlich schon, aber da wird die Stammfunktion halt nicht so gebildet wie wir es tun sollen, also eine andere Substituion, wenn du weißt was ich meine. Ich würde gerne das mit den gegebenen Hinweisen verstehen.

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Dann löse die Substitution nach x auf und transformieren dx mit x'(t)dt. Das ist zwar auch nicht wirklich schön, geht aber.

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Also, nur um sicherzu gehen, weil ich sethe komplett auf dem Schlauch, ich soll jetzt t =x+wurzel(x²-x+1) nach x ausflösen und das dann noch in das integral einsetzten?

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Der Integrand bleibt natürlich 1/t. Du kannst x(t) für dx nutzen.