Zeige mit Hilfe von der Definition

Question

Sei f:ℝ \{0} →ℝ definiert durch

f(x) = (x^3 +1) ÷(x² +1)

Zeige mit Hilfe von

, dass lim x→0  f(x) =1

Answer 1

$$\left|\frac{x^3+1}{x^2+1} -1\right|=\left|\frac{x^3+1-(x^2+1)}{x^2+1} \right|=\frac{x^2}{x^2+1}|x-1|$$

$$\stackrel{x^2+1 \geq 1 }{\leq}x^2|x-1|\stackrel{\color{blue}{|x|<1}: |x-1|\leq|x|+1 <2}{<}2x^2 \stackrel{|x|<1}{<}2|x|$$

D.h., zu jedem \(\epsilon > 0\) können wir \(\delta = \color{blue}{\min (1,\frac{\epsilon}2})\) wählen, denn dann gilt für alle x mit \(0<|x|<\delta\)

$$\left|\frac{x^3+1}{x^2+1} -1\right|<2|x| <2\delta \leq 2\frac{\epsilon}2 = \epsilon$$