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Gegeben sind die Faktoren

f : x → x3 – x2  mit x ∈ ℝ

g : x → x2 + 4x  mit  x ∈ ℝ


h : x → { –x2 – 4x – 2  für x < –1, x ∈ ℝ

h : x → { 0,5x + 1,5  für x ≥ –1, x ∈ ℝ


Aufgabenstellung:

a) Berechnen Sie die Abteilung der Funktion f an der Stelle x0 mit Hilfe der Definition 6 durch eine Grenzwertberechnung mit der x → x0-Methode.


b) Berechnen Sie die Ableitung der Funktion g an der Stelle x0 mit der Hilfe der Definition 6 durch eine Grenzwertberechnung mit der h-Methode, d.h. für h → 0


c) Zeigen Sie, dass die Funktion h an der Stelle x0 = – 1 nicht differenzierter ist, indem Sie den links- und den rechtzeitigen Grenzwert an der Stelle x0 = –1 berechnen un diese vergleichen.


Problem/Ansatz:

So ganz verstehe ich die Frage nicht so ganz.. könnte es mir jemand vorrechnen?

Vielen Dank im voraus !

von

2 Antworten

+1 Punkt

f ( x ) = x^3 – x^2
lim x -> x0 = [ f ( x ) - f ( x0 ) ] / ( x - x0 )
lim x -> x0 = [ ( x^3 - x^2 ) - ( x0^3 - x0^2 ) ] / ( x - x0 )
lim x -> x0 = ( x^3 - x^2 -  x0^3 + x0^2  ) / ( x - x0 )

Polynomdivision durchführen
lim x -> x0 = [  x^2 + x*x0 - x + x0^2 - x0 ]
lim x -> x0 = [  x^2 -+ x^2 - x + x^2 - x ]
3*x^2 - 2x

von 88 k

f = x^2 + 4x
nach der h-Methode
[ f(x+h) - f(x) ] / ( x+h - x )
[ ( (x+h)^2 + 4 * ( x + h ) ) - ( x^2 + 4x ) ] / h
[ x^2 + 2xh + h^2 + 4x + 4*h - x^2 - 4x ] / h
[ 2*x*h + 4*h + h^2 ] / h | kürzen
2x + 4 + h
lim h -> 0 [ 2x + 4 + h ] = 2x + 4
f ´( x ) = 2x + 4



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Berechnen Sie die Abteilung der Funktion f an der Stelle x0 mit Hilfe der Definition 6 durch eine Grenzwertberechnung mit der x → x0-Methode.

\(\begin{align*}
f'\left(x_{0}\right) & =\lim_{x\to x_{0}}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}\\
& =\lim_{x\to x_{0}}\frac{\left(x^{3}-x^{2}\right)-\left(x_{0}^{3}-x_{0}^{2}\right)}{x-x_{0}}\\
& =\dots
\end{align*}\)

Berechne den Grenzwert.

Berechnen Sie die Ableitung der Funktion g an der Stelle x0 mit der Hilfe der Definition 6 durch eine Grenzwertberechnung mit der h-Methode, d.h. für h → 0

\(\begin{align*}
g'\left(x_{0}\right) & =\lim_{h\to0}\frac{g\left(x_{0}+h\right)-g\left(x_{0}\right)}{h}\\
& =\lim_{h\to0}\frac{\left(\left(x_{0}+h\right)^{2}+4\left(x_{0}+h\right)\right)-\left(x_{0}^{3}-x_{0}^{2}\right)}{h}\\
& =\dots
\end{align*}\)

Berechne den Grenzwert.

Zeigen Sie, dass die Funktion h an der Stelle x0 = – 1 nicht differenzierter ist, indem Sie den links- und den rechtzeitigen Grenzwert an der Stelle x0 = –1 berechnen un diese vergleichen.

\(\begin{align*}
\lim_{k\nearrow0}\frac{h\left(-1+k\right)-h\left(-1\right)}{k} & =\lim_{k\nearrow0}\frac{\left(-\left(-1+k\right)^{2}-4\left(-1+k\right)-3\right)-\left(-\left(-1\right)^{2}-4\cdot\left(-1\right)-3\right)}{k}\\
& =\dots\\
\lim_{k\searrow0}\frac{h\left(-1+k\right)-h\left(-1\right)}{k} & =\lim_{k\searrow0}\frac{\left(\frac{1}{2}\left(-1+k\right)+\frac{3}{2}\right)-\left(\frac{1}{2}\cdot\left(-1\right)+\frac{3}{2}\right)}{k}\\
& =\dots
\end{align*}\)

Berechne die einseitigen Grenzwerte.

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Vielen Dank für deine Antwort!

f'(x0) =\( \lim\limits_{x\to\infty} \) \( \frac{(x^3 - x^2) - (x0^3 - x0^2)}{x - x0} \)

Wie vereinfache ich das.. Wenn es geht.

Der Grenzwert ist dann 0, oder?

für g:x→ x2 + 4x mit x ∈ ℝ

g'(x0) = \( \lim\limits_{h\to0} \) \( \frac{g(x0 + h) -g(x0)}{h} \)

⇔ \( \lim\limits_{h\to0} \) \( \frac{((x0 + h)^2 + 4 (x0+h)) - x0^3 - x0^2}{h} \)

⇔ \( \lim\limits_{h\to0} \) \( \frac{x^2 + h^2 + 4*x0 + 4h - xo^3 - x0^2}{h} \)

⇔ \( \lim\limits_{h\to0} \) = h + 4 • x0 + 4h - x03   =  x03 + 4x0 + 5h

⇔ \( \lim\limits_{h\to0} \) = 4x04 + 5h


richtig so?

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