Aufgabe:
Sei V ein Vektorraum über einem Körper K und seien U1, U2 ⊂ V Untervektorräume von V .
a) Es wurde erwähnt, dass die Vereinigung U1 ∪ U2 im Allgemeinen kein Untervektorraum von V ist. Geben Sie hier für ein konkretes Beispiel, d.h. nennen Sie einen Vektorraum V sowie zwei Untervektorräume U1, U2 und begründen Sie,
warum in Ihrem Beispiel U1 ∪ U2 kein Untervektorraum von V ist.
b) Zeigen Sie, dass U1 ∩ U2 stets ein Untervektorraum von V ist.
c) Wir betrachten R4 sowie die beiden Untervektorräume
U: = Spannℝ { \( \begin{pmatrix} 1\\1\\1\\1 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 0\\1\\0\\1 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 1\\0\\0\\1 \end{pmatrix} \)}, V: = Spannℝ {\( \begin{pmatrix} 0\\1\\-1\\0 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 1\\-1\\1\\1 \end{pmatrix} \)}
Bestimmen Sie eine Basis von U ∩ V .
Hinweis: Untersuchen Sie die Elemente von U + V auf lineare Abhängigkeit. Was können Sie aus dem Ergebnis folgern?
Problem/Ansatz:
Ich hänge leider bei dieser Aufgabe fest und habe keinerlei Ansatzpunkt, wie ich die Lösen kann/soll.
Über eine Lösung mit Erklärung, wie ich es machen muss wäre ich sehr dankbar.
