Berechne den Winkel Alpha (Sinussatz)

Question

Aufgabe:

Ein Dreieck mit den Seitenlängen a=5,68, b=3,5, c=4 und dem Winkel ß=37,63 Grad

Berechne den Winkel Alpha

Problem/Ansatz:

Ich habe hier den Sinussatz benutzt:

3,5/sin(37,63)=5,68/sin(alpha)

Umgeformt:

Sin(alpha)=sin(37,68)/3,5 •5,68= 0,99

Alpha=81,9 Grad

Nun ist es aber so, dass in den Lösungen 98,2 grad steht und selbst wenn ich das in die vorherige Rechnung einsetzte um zu prüfen ob für die anderen Werte dann das richtige Ergebnis rauskommt,  wird mir auf dem Taschenrechner für beide Werte das richtige Ergebnis angezeigt:

5,68/sin(81,9)•sin(37,63)≈3,5

5,68/sin(98,2)•sin(37,63)≈3,5

Aber wie kann das sein, dass für beide Werte dasselbe Ergebnis rauskommt, wenn doch nur eines richtig ist (in dem Fall 98,2 Grad)?

Comments

Deine Rechnung ist soweit richtig. Das Problem ist, dass die Gleichung sin(alpha) = 0,99 keine eindeutige Lösung für alpha im Intervall [0°,180°] hat. Wenn du dir den Graphen des Sinus ansiehst, stellst du fest, dass es zwei Lösungen gibt. Eine davon ist etwas kleiner, die andere etwas größer als 90°. Da hier a² > b² + c² gilt, muss alpha > 90° sein, d.h. dass die kleinere Lösung entfällt.
Das Problem lässt sich umgehen, wenn der Kosinussatz zum Einsatz kommt:
Aus a² = b² + c² - 2bc·cos(alpha) folgt direkt alpha ≈ 98,2°.

Answer 1

Hallo,

Stimmt denn auch die Probe?

hierüber funkioniert es:

\( \frac{sin 37,63}{3,5} \) =\( \frac{sinγ}{4} \)

 γ =44,249°

Winkelsummensatz anwenden 180 -44,249 -37,63 = 98,12°

Comments

Dankeschön, aber was genau habe ich denn falsch gerechnet, dass ein falsches Ergebnis rauskommt ?