Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit (in Prozent), dass die Rendite des Portfolios kleiner als -0.02 ist?

Question

Die unabhängigen Zufallsvariablen \( R_{i} \) mit \( i=1,2,3,4,5 \) seien Renditen von 5 verschiedenen Wertpapieren. Die Renditen \( R_{i} \) sind normalverteilt mit folgendem Erwartungswert und folgender Varianz:

N(1.3,8.8), & i=1,2
N(3.4,5.9), & i=3,4,5

Die Rendite eines Portfolios \( \left(R_{p}\right) \) setzt sich aus den obigen Wertpapieren mit folgender Gewichtung zusammen: \( R_{p}=0.33 R_{2}+0.67 R_{4} \).
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit (in Prozent), dass die Rendite des Portfolios kleiner als \( -0.02 \) ist? (Eingabe bitte auf zwei Nachkommastellen.)

Ansatz:

ich habe aus Gewichtung und Varianz meine Werte a=2.707 und b=3.60683 herausbekommen und dann in die Formel eingesetzt, also

\( \frac{2.707+0.02}{\sqrt{3.60683}} \) = 1.435894

das Ergebnis daraus habe ich in der Normalverteilungstabelle nachgeschlagen und es kommt 0.925 raus, der gegenwert wären also 0.075 (7.5%), was aber falsch ist, kann mir jemand helfen, wo mein Fehler liegt?

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Die Wiedergabe eines Teils der Aufgabe ist missraten. Wahrscheinlich steht im Original

\( R_{i} \sim\left\{\begin{array}{ll} \mathcal{N}(1,3 \; ; \; 8,8) \quad , & i = 1, \; 2 \\ \mathcal{N}(3,4 \; ; \; 5,9) \quad , & i = 3, \; 4, \; 5 \end{array}\right. \)

Answer 1

Die zufallsverteilte Rendite X des Portfolios hat den Erwartungswert

\(\displaystyle \text{E}[X]  = 0,33 \cdot 1,3 + 0,67 \cdot 3,4 = 2,707 \)

und die Varianz

\(\displaystyle \text{V}[X]  = 0,33^2 \cdot 8,8 + 0,67^2 \cdot 5,9 = 3,60683 \)

bzw. eine Standardabweichung von

\(\displaystyle \sigma = \sqrt{3,60683} \approx 1,90 \)

Eine Rendite von -0,02 liegt etwa 1,44 Standardabweichungen unter dem Erwartungswert. Ein Blick in die Standardnormalverteilungstabelle ergibt dazu eine Wahrscheinlichkeit von etwa 1 - 0,92507 = 7,493 %, dass die Rendite kleiner ist; mein Taschenrechner ist genauer als die Tabelle und zeigt etwa 7,551 % an.

Es scheiterte also an der verlangten Anzahl Nachkommastellen.

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