Geschlossener Ausdruck für Potenzreihe

Question

Aufgabe:

Man soll einen geschlossenen Ausdruck für eine Potenzreihe in dem Kovergenzbereich angeben.
Tipp: Cauchy-Produkt bekannter Reihen

Meine Frage ist jetzt wie man aus der Potenzreihe einen Cauchy-Produkt "basteln" kann.

Die Reihe sieht so aus:
Von n=0 bis unendlich über den Ausdruck:
(n^2+n-1)*x^n

Comments

Muss es mit Cauchy-Produkten gelöst werden, oder darf es auch mit Ableitungen der geometrischen Reihe sein? Letzteres wäre meines Erachtens einfacher.

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Wir haben bis jetzt keine Ableitungen von Reihen behandelt

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Dann wäre das mein Vorschlag:
(1)  Betrachte die geometrische Reihe \(\displaystyle\frac1{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n\).
(2)  Berechne zunächst das Cauchy-Produkt der geometrischen Reihe mit sich selbst:$$\quad\frac1{1-x}\cdot\frac1{1-x}=\left(\sum_{n=0}^\infty x^n\right)\cdot\left(\sum_{n=0}^\infty x^n\right).$$Mein Resultat ist $$\quad\left(\frac1{1-x}\right)^2=\sum_{n=0}^\infty(n+1)x^n.$$(3)  Damit berechne die dritte Potenz der geometrischen Reihe:$$\quad\left(\frac1{1-x}\right)^2\cdot\frac1{1-x}=\left(\sum_{n=0}^\infty(n+1)x^n\right)\cdot\left(\sum_{n=0}^\infty x^n\right)$$Mein Resultat ist $$\quad\left(\frac1{1-x}\right)^3=\sum_{n=0}^\infty\tfrac12(n^2+3n+2)x^n.$$(4)  Finde eine geeignete Linearkombination dieser drei Reihen.

Answer 1

$$\sum \limits_{n=0}^{\infty}(n^2+n-1)x^n = \sum \limits_{n=0}^{\infty}n(n+1)x^n - \sum \limits_{n=0}^{\infty}x^n$$

Also müssen wir nur noch \(\sum \limits_{n=0}^{\infty}n(n+1)x^n\) betrachten. Hier kommen die Cauchy-Produkte ins Spiel, die \(Arsino\ddot{e}4\) angegeben hat (leider nur in einem Kommentar):

$$\frac 1{(1-x)^2} = \sum \limits_{n=0}^{\infty}(n+1)x^n$$

$$\frac 1{(1-x)^3} = \sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{(n+1)(n+2)}{2}x^n$$

Jetzt nur noch scharf gucken:

$$\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{(n+1)(n+2)}{2}x^n = \frac 12 \sum \limits_{n=0}^{\infty} \left( n(n+1) + 2(n+1) \right)x^n $$ $$=  \frac 12 \sum \limits_{n=0}^{\infty} n(n+1) x^n +\sum \limits_{n=0}^{\infty}(n+1) x^n $$

Umstellen ergibt:

$$\sum \limits_{n=0}^{\infty} n(n+1) x^n = \frac{2}{(1-x)^3}-\frac 2{(1-x)^2}$$

Nur noch ganz oben in die erste Gleichung einsetzen:

$$\sum \limits_{n=0}^{\infty}(n^2+n-1)x^n =  \frac{2}{(1-x)^3}-\frac 2{(1-x)^2} - \frac 1{1-x} = \frac{-x^2+4x-1}{(1-x)^3}$$

Noch eine kurze Nachbemerkung zum Konvergenzradius:

Der Cauchy-Produktsatz besagt, dass das Produkt absolut konvergenter Reihen wieder absolut konvergent ist. Dabei ist das Cauchyprodukt eine hilfreiche Form, um das Produkt zu berechnen (insbesondere im Zusammenhang mit Potenzreihen).

Was folgt daraus? Beim Produkt einer Potenzreihe mit sich selbst kann der Konvergenzradius nicht kleiner werden, da sie ja im Inneren ihres Konvergenzintervalls absolut konvergiert.

Answer 2

Um ein Cauchy-Produkt zu bilden, müssen Sie zwei oder mehr Reihen multiplizieren. Jede der multiplizierten Reihen muss für den Konvergenzbereich des Cauchy-Produkts konvergieren.

Um das Cauchy-Produkt zweier Reihen zu bilden, können Sie jedes Element der ersten Reihe mit jedem Element der zweiten Reihe multiplizieren und dann die Summe all dieser Produkte berechnen. Dies gibt Ihnen das n-te Element des Cauchy-Produkts. Sie können dann die Summe aller Elemente des Cauchy-Produkts berechnen, um das gesamte Cauchy-Produkt zu erhalten.

Zum Beispiel, wenn Sie das Cauchy-Produkt der Reihen a_n und b_n bilden möchten, wäre das Cauchy-Produkt c_n gegeben durch:

c_n = ∑(a_i * b_i), i von 0 bis n

Wenn Sie das Cauchy-Produkt von mehr als zwei Reihen bilden möchten, multiplizieren Sie einfach jede Reihe mit dem Cauchy-Produkt der vorherigen Reihen.

Um das Cauchy-Produkt der Reihe (n^2+n-1)*x^n zu bilden, müssen Sie also zwei oder mehr Reihen finden, die Sie mit dieser Reihe multiplizieren können, sodass das Cauchy-Produkt innerhalb des Konvergenzbereichs konvergiert. Es könnte zum Beispiel hilfreich sein, den Konvergenzbereich der ursprünglichen Reihe zu bestimmen und dann Reihen zu finden, die innerhalb dieses Bereichs konvergieren und deren Cauchy-Produkt auch innerhalb dieses Bereichs konvergiert.

Comments

Erstmal vielen Dank für die ausführliche Antwort,

der Konvergenzbereich ist nach meiner Rechnung (-1,1) also läuft es auf die geometrische Reihe hinaus.

Ich komme nur bei dem Schritt die gegebene Reihe in ein Produkt von Reihen umzuwandeln, sodass man dann auch einen geschlossenen Ausdruck für die gegebene Reihe finden kann, auf nichts sinnvolles.

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Um einen geschlossenen Ausdruck für die gegebene Reihe zu finden, könnten Sie versuchen, die gegebene Reihe als geometrische Reihe zu schreiben. Die geometrische Reihe hat die Form:

a + ar + ar^2 + ar^3 + ...

In dieser Form ist a der erste Term der Reihe und r ist die gemeinsame Ratio. In Ihrem Fall wäre a das erste Element der Reihe (also (0^2+0-1)x^0 = -1x^0 = -1), und r wäre das Verhältnis zwischen zwei aufeinanderfolgenden Elementen der Reihe (also (n^2+n-1)*x^n / (n-1)^2+(n-1)-1)*x^(n-1) ). Sie können diese Gleichung verwenden, um den Wert von r zu berechnen und dann die geometrische Reihe mit diesem Wert für r schreiben.

Um einen geschlossenen Ausdruck für die gegebene Reihe zu finden, könnten Sie auch versuchen, die Reihe als ein Produkt von anderen Reihen zu schreiben. Dazu müssten Sie zwei oder mehr Reihen finden, deren Produkt die gegebene Reihe ist. Diese Reihen müssten innerhalb des Konvergenzbereichs konvergieren, um sicherzustellen, dass das Produkt auch innerhalb dieses Bereichs konvergiert.

Es könnte auch hilfreich sein, sich das Cauchy-Produkt der Reihe anzusehen. Das Cauchy-Produkt ist gegeben durch:

c_n = ∏(a_i), i von 0 bis n

Wenn Sie das Cauchy-Produkt der gegebenen Reihe bilden, könnten Sie versuchen, es als ein Produkt von anderen Reihen zu schreiben, um einen geschlossenen Ausdruck für die gegebene Reihe zu finden. Es ist wichtig zu beachten, dass das Cauchy-Produkt im Allgemeinen schwieriger zu berechnen ist als das Cauchy-Produkt, da es alle Elemente der Reihe berücksichtigen muss.

Ich hoffe, dass diese Informationen hilfreich sind. Wenn Sie weitere Fragen haben, zögern Sie bitte nicht, mich zu kontaktieren.

grüße GustavDerBraune