Aufgabe:
Sei D= (1,∞) und sei f: (1,∞) → R gegeben durch
Text erkannt:
f(x)=x2−2x−1x−1 f(x)=\frac{x^{2}-\sqrt{2 x-1}}{x-1} f(x)=x−1x2−2x−1
a) Zeige, dass 1 Element D'
b) Bestimme den Grenzwert lim f(x)
x→1
Zur Berechnung des Grenzwerts erweitere den Bruch mit x2+2x−1x^2+\sqrt{2x-1}x2+2x−1
Erweitern mit dritter Binomischer Formel ergibt
f(x)=x4−2x+1(x−1)(x2+2x−1)=(x3+x2+x−1)(x−1)(x−1)(x2+2x−1)=x3+x2+x−1x2+2x−1 f(x) = \frac{x^4 - 2x + 1}{(x - 1) \left( x^2 + \sqrt{2x - 1} \right) } = \frac{ (x^3 + x^2 + x - 1) (x-1) } { (x-1) \left( x^2 + \sqrt{2x - 1}\right) } = \frac{ x^3 + x^2 + x - 1 } { x^2 + \sqrt{2x - 1} } f(x)=(x−1)(x2+2x−1)x4−2x+1=(x−1)(x2+2x−1)(x3+x2+x−1)(x−1)=x2+2x−1x3+x2+x−1 und deshalb gilt
limx→1f(x)=1 \lim_{x \to 1 } f(x) = 1 x→1limf(x)=1
Vielen Dank!
Wie zeige ich,dass 1 element D' ist?
Was soll D′ D' D′ sein?
mit L'Hospital:
((2x-0,5*(2x-1)^(-1.5)*2))/1 = ...
x= 1 -> lim = 1
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