Numerische Mathematik | Auslöschungen beseitigen

Question

Formen Sie die folgenden Ausdrücke so um, dass bei ihrer Berechnung Auslöschungen in dem jeweils angegebenen Argumentbereich vermieden werden:
(i) $\frac{1}{1+2 x}-\frac{1-x}{1+x}$ für $|x| \ll 1$
(ii) $\sqrt{x+\frac{1}{x}}-\sqrt{x-\frac{1}{x}}$ für $|x| \gg 1$,
(iii) $\frac{1-\cos x}{\sin x}$ für $x \neq 0$ und $|x| \ll 1$.

Hallo, ich würde gerne wissen wie die Auslöschungen vermieden werden und wie man die Gleichung dann an diesen gegebenen Argumentbereich anpasst, und ob es da Regeln gibt wie man sowas besonders unkompliziert lösen kann.

Grüße

Answer 1

Aloha :)

Auslöschung ist ein Phänomen, das vor allem bei Fließkomma-Zahlen vorkommt, weil die Anzahl der Bits für die Zahlendarstellung begrenzt ist. Wenn zwei Zahlen $a$ und $b$ sehr nahe beieinander liegen, unterscheidet sich ihre Binärdarstellung nur in den hinteren Bits. Bildet man nun die Differenz der beiden Zahlen, so löschen sich die vorderen, höherwertigen Bits gegenseitig aus und werden alle zu $0$-Bits. Erst in den hinteren Bits (wo sich die beiden Zahlen $a$ und $b$ zuvor unterschieden haben) kommt in der Differenz das erste $1$-Bit. Bei der Normierung der Differenz werden alle vorne entstandenen $0$-Bits gelöscht und das erste $1$-Bit nach vorne geschoben. Damit der Wert der Zahl dabei erhalten bleibt, wird für jedes gelöschte $0$-Bit der $2$er-Exponenten um $1$ vermindert.

Das eigentlich Problem ist nun, dass beim Nach-vorne-Schieben des ersten $1$-Bits hinten mit $0$-Bits aufgefüllt wird, denn durch die begrenzte Anzahl an Bits für die Zahlendarstellung fehlen die tatsächlichen Bit-Werte. Dabei können sehr große Abweichungen entstehen.

Daher sollte die Subtraktion etwa gleich großer Zahlen vermieden werden.

zu (i) Es ist $|x|\ll1$, also liegt $x$ nahe bei der $0$. Daher liegen der erste und der zweite Bruch beide sehr nahe bei $1$. Kritisch ist also die Subtraktion der beiden Brüche:$$\phantom=\frac{1}{\red{1+2x}}-\frac{1-x}{\green{1+x}}=\frac{1\cdot\green{(1+x)}-(1-x)\red{(1+2x)}}{\red{(1+2x)}\green{(1+x)}}$$$$=\frac{(1+x)-(1+x-2x^2)}{(1+2x)(1+x)}=\frac{2x^2}{(1+2x)(1+x)}$$

zu (ii) Es ist $|x|\gg1$, daher ist $\frac1x\approx0$ und die beiden Wurzeln liegen sehr nahe beieinander. Kritisch ist also die Subtraktion der beiden Wurzeln. Wir helfen uns mit der 3-ten binomsichen Formel:$$\phantom=\sqrt{x+\frac1x}-\sqrt{x-\frac1x}=\frac{\left(\sqrt{x+\frac1x}-\sqrt{x-\frac1x}\right)\pink{\left(\sqrt{x+\frac1x}+\sqrt{x-\frac1x}\right)}}{\pink{\left(\sqrt{x+\frac1x}+\sqrt{x-\frac1x}\right)}}$$$$=\frac{\left(x+\frac1x\right)-\left(x-\frac1x\right)}{\left(\sqrt{x+\frac1x}+\sqrt{x-\frac1x}\right)}=\frac{\frac2x}{\left(\sqrt{x+\frac1x}+\sqrt{x-\frac1x}\right)}=\frac{2}{\sqrt{x^3+x}+\sqrt{x^3-x}}$$Wir sparen zusätzlich die zeitintensive Berechnung des Kehrwertes.

zu (iii) Es ist $|x|\ll1$, also ist $\cos x\approx1$. Kritisch ist daher die Subtraktion im Zähler. Hier helfen uns die Additionstheoreme bzw. die Halbwinkelsätze:$$\frac{\pink1-\green{\cos x}}{\red{\sin x}}=\frac{\pink{\left(\cos^2\frac x2+\sin^2\frac x2\right)}-\green{\left(\cos^2\frac x2-\sin^2\frac x2\right)}}{\red{2\sin\frac x2\cos\frac x2}}=\frac{2\sin^2\frac x2}{2\sin\frac x2\cos\frac x2}=\frac{\sin\frac x2}{\cos\frac x2}=\tan\frac x2$$

Comments

für die (iii)

habe ich am ende $\frac{sin x}{cos x + 1}$

Würde das dann nicht auch passen?

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Ja, das geht auch, denn eine Subtraktion findet nicht statt.

Answer 2

Bei $\frac{1}{1+2 x}-\frac{1-x}{1+x}$

sind die Brüche für x in der Nähe von 0 beide in der Nähe

von 1, also Subtraktion zweier ungefähr gleicher Zahlen

==> Auslöschung.

Brüche auf den Hauptnenner bringen und subtrahieren gibt

 $\frac{2x-2x^2 }{(1+2 x)(1+x)}$

gäbe vielleicht immer noch Auslöschung im Zähler, deshalb

wohl besser $\frac{2x(1-x)}{(1+2 x)(1+x)}$

ii) Erweitern mit der entsprechenden Summe.

iii) Erweitern mit 1+cos(x) und bedenken 1- cos(x)² = sin(x)².

Comments

Danke! Habe es genauso, den Rest hab ich jetzt auch, danke.