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Bei Funktionen \(f(x)\) mit einer Variablen \(x\) ist die Gleichung der Tangente am Punkt \(x_0\):$$t_{x_0}(x)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0)$$
Das kannst du auf eine Funktion mit \(f(x;y)\) mit zwei Variablen übertragen:$$e_{(x_0;y_0)}(x;y)=f(x_0;y_0)+\operatorname{grad}f(x_0;y_0)\cdot\left(\binom{x}{y}-\binom{x_0}{y_0}\right)$$Ich habe hier absichlich \(e(x;y)\) geschrieben, weil es sich nun nicht mehr um eine Tangente, sondern um eine Tangetialebene handelt.
Hier haben wir folgende Situation gegeben:$$f(x;y)=x^2y+2x^2+2xy+4x+y+2\quad;\quad(x_0;y_0)=(-2;-2)$$Zum schnellen Bilden der Ableitungen schreiben wir \(f(x;y)\) etwas um:$$f(x;y)=(x+1)^2(y+2)\implies f(-2;-2)=0$$$$f_x(x;y)=2(x+1)(y+2)\implies f_x(-2;-2)=0$$$$f_y(x;y)=(x+1)^2\implies f_y(-2;-2)=1$$
Wir setzen unsere Ergebnisse ein und finden:$$e_{(-2;-2)}(x;y)=0+\binom{0}{1}\cdot\binom{x+2}{y+2}=y+2$$Wenn du den Funktionswert als Höhe \(z\) beschreibst:$$E\colon\;z=y+2$$
