Warum ist \sin x 0 für x ∈ (0, \frac{\pi}{2}\right]?

Question

Text erkannt:

Beweisen Sie: \( \cos :\left[0, \frac{\pi}{2}\right] \rightarrow \mathbb{R} \) ist streng monoton fallend.
Hinweis: Drücken Sie mit Hilfe der Additionstheoreme die Differenz zwischen zwei Cosinus-Werten als Produkt zweier Sinus-Werte aus. Warum ist \( \sin x>0 \) für \( x \in \) \( \left(0, \frac{\pi}{2}\right] \) ?

Stetigkeitsbeweise sind für mich eh etwas schwerer, Reihe gefielen mir da mehr xD

aber kann mir das jemand einmal zeigen, dabei wirklich so jeden Schritt "recht" einfach erklären?

Answer 1

Also per Additionstheorem für den Kosinus hast du

$$\cos (x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y\quad (1)$$

$$\cos (x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y\quad (2)$$

$$(1)-(2):\: \cos (x+y ) - \cos(x-y) =-2\sin x \sin y$$

Setze nun

$$u = x+y, \: v= x-y \Rightarrow x = \frac{u+v}2,\: y= \frac{u-v}2$$

Einsetzen:

$$\cos u - \cos v = -2\sin \left(\frac{u+v}2\right)\sin \left(\frac{u-v}2\right)$$

Nun folgt mit \(0\leq v < u \leq \frac{\pi}2\) die gewünschte Aussage.

Für das Argument zu \(\sin x > 0\) auf \((0, \frac{\pi}2]\) müsste ich wissen, wie ihr den Sinus definiert hat.

Answer 2

Aloha :)

Den Hinweis würde ich ingorieren, der macht es nur unnötig kompliziert.

In einem rechtwinkligen Dreieck ist \((b=c\cdot\cos\alpha)\) die Projektion der Hypotenuse \(c\) auf die Ankathete \(b\) mit dem eingeschlossenen Winkel \(\alpha\). Mit wachsendem \(\alpha\in[0;\frac\pi2]\) wird die Gegenkathete \(a=c\cdot\sin\alpha\) größer und die Ankathete \(b\) kleiner. Daher ist die \(\cos\)-Funktion für \(\alpha\in[0;\frac\pi2]\) streng monoton fallend (und die \(\sin\)-Funktion streng monoton steigend).