Warum ist \sin x 0 für x ∈ (0, \frac{\pi}{2}\right]?

Question

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Beweisen Sie: $\cos :\left[0, \frac{\pi}{2}\right] \rightarrow \mathbb{R}$ ist streng monoton fallend.
Hinweis: Drücken Sie mit Hilfe der Additionstheoreme die Differenz zwischen zwei Cosinus-Werten als Produkt zweier Sinus-Werte aus. Warum ist $\sin x>0$ für $x \in$ $\left(0, \frac{\pi}{2}\right]$ ?

Stetigkeitsbeweise sind für mich eh etwas schwerer, Reihe gefielen mir da mehr xD

aber kann mir das jemand einmal zeigen, dabei wirklich so jeden Schritt "recht" einfach erklären?

Answer 1

Also per Additionstheorem für den Kosinus hast du

$$\cos (x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y\quad (1)$$

$$\cos (x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y\quad (2)$$

$$(1)-(2):\: \cos (x+y ) - \cos(x-y) =-2\sin x \sin y$$

Setze nun

$$u = x+y, \: v= x-y \Rightarrow x = \frac{u+v}2,\: y= \frac{u-v}2$$

Einsetzen:

$$\cos u - \cos v = -2\sin \left(\frac{u+v}2\right)\sin \left(\frac{u-v}2\right)$$

Nun folgt mit $0\leq v < u \leq \frac{\pi}2$ die gewünschte Aussage.

Für das Argument zu $\sin x > 0$ auf $(0, \frac{\pi}2]$ müsste ich wissen, wie ihr den Sinus definiert hat.

Answer 2

Aloha :)

Den Hinweis würde ich ingorieren, der macht es nur unnötig kompliziert.

In einem rechtwinkligen Dreieck ist $(b=c\cdot\cos\alpha)$ die Projektion der Hypotenuse $c$ auf die Ankathete $b$ mit dem eingeschlossenen Winkel $\alpha$. Mit wachsendem $\alpha\in[0;\frac\pi2]$ wird die Gegenkathete $a=c\cdot\sin\alpha$ größer und die Ankathete $b$ kleiner. Daher ist die $\cos$-Funktion für $\alpha\in[0;\frac\pi2]$ streng monoton fallend (und die $\sin$-Funktion streng monoton steigend).