Bestimme die duale Basis

Question

Es seien V ein Vektorraum über K und B = (b1, b2, b3) eine Basis von V.
(a) Zeige: Für alle t ∈ K bilden c_1,t := b1, c2,t := b1 + b2, c_3,t := tb1 + b2 + b3 eine Basis Ct :=
(c_1,t, c_2,t, c_3,t) von V.
(b) Bestimme die zu C_t duale Basis C∗_t = (c∗_1,t   , c∗_2,t  , c∗_3,t)

a) Sei x,y,z aus K, also gilt 0=(x+y+t*z)*b1+(y+z)*b2+z*b3=0

B ist eine Basis deswegen kann man folgern, dass die Skalare=0 sind. Somit ist C_t eine Basis von V

b) Mein Ansatz: Erfasse Vektoren x ∈ V durch ihre Koordinatenspalten 〈B∗, x〉 und Linearformen a∗ ∈ V∗
durch ihre Koordinatenmatrizen 〈a∗, B. Aber sonst komm ich hier nicht weiter. Könnte mir jemand helfen?

Answer 1

a) ist ja ungefähr OK.

zu b)  Erfasse Vektoren x ∈ V durch ihre Koordinatenspalten bzgl B.

Dann gibt das für die c's die Matrix mit den Spalten

\(  \left(\begin{array}{c} 1&1&t \\ 0&1&1 \\ 0&0&1 \end{array}\right)  \)

Die Inverse ist

\(  \left(\begin{array}{c} 1&1+t&t \\ 0&1&-1 \\ 0&0&1 \end{array}\right)  \)

Also sind in den Zeilen davon die Koeffizientenmatizen für die

Elemente der dualen Basis.