Zeige, dass es eine Basis ist

Question

Im Vektorraum R〈N〉 sei die kanonische Basis (en)n∈N mit en = (δin)i∈N gegeben.
(a) Zeige, dass die Familie (b j) j∈N mit
b0 := (1, 0, 0, 0, . . .), b1 := (−1, 1, 0, . . .), b2 := (0, −1, 1, 0, . . .), . . .
ebenfalls eine Basis von R〈N〉 ist.
(b) Berechne 〈b∗j, (ai)i∈N〉 ∈ R und gib an, welche der Linearformen b∗
j in der Hülle von (e∗n)n∈N liegen.
Hinweis: 〈b∗0, (ai)i∈N〉 = ∑i∈N ai. Warum ist diese Summe endlich?

a) Sei x,y,z aus N

x*(1,0,0...)+y*(-1,1,0,....)+z*(0,-1,1,0....)

Es folgt schnell, dass x=y=z=0

b) Bei b würd ich die Vektoren von bj in Spaltenvektoren in eine Matrix schreiben und davon bilde ich die Inverse. Und dann muss ich nachsehen, ob davon Vektoren in der Zeile der kanonischen Basisvektoren entsprechen. Die Summe ist ja endlich, weil LK generell ja endlich sind oder?

Answer 1

Hallo

zu a) warum sollten x,y,z  aus ℕ sein. ddi bist doch wohl in ℝ^n oder was bedeutet R〈N〉

2. warum nur die Linearkombination von 3 Vektoren  und das =0 fehlt auch?

b kann ich nicht Wirkich lesen

"Berechne 〈b∗j, (ai)i∈N〉 ∈ R" was ist b*j warum ai in Klammern ?<a,b> ist doch das Skalarproodukt.

lul

Comments

a) R^n meine ich ja. Zu 2. Ja =0 fehlt am Ende noch. Ich hätte jetzt nur die 3 Vektoren hergenommen und zu zeigen, dass diese linear unabh sind. Wie soll man es sonst für die gesamte Familie zeigen?

Text erkannt:

Im Vektorraum \( \mathbb{R}^{\langle\mathbb{N Y}\rangle} \) sei die kanonische Basis \( \left(\boldsymbol{e}_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) mit \( \boldsymbol{e}_{n}=\left(\delta_{i n}\right)_{i \in \mathbb{N}} \) gegeben.
(a) Zeige, dass die Familie \( \left(b_{j}\right)_{j \in \mathbb{N}} \) mit
\( \boldsymbol{b}_{0}:=(1,0,0,0, \ldots), \quad \boldsymbol{b}_{1}:=(-1,1,0, \ldots), \quad \boldsymbol{b}_{2}:=(0,-1,1,0, \ldots), \ldots \)
ebenfalls eine Basis von \( \mathbb{R}^{(\mathbb{N}\rangle} \) ist.
(b) Berechne \( \left\langle\boldsymbol{b}_{j}^{*},\left(a_{i}\right)_{i \in \mathbb{N}}\right\rangle \in \mathbb{R} \) und gib an, welche der Linearformen \( \boldsymbol{b}_{j}^{*} \) in der Hülle von \( \left(\boldsymbol{e}_{n}^{*}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) liegen.
Hinweis: \( \left\langle\boldsymbol{b}_{0}^{*},\left(a_{i}\right)_{i \in \mathbb{N}}\right\rangle=\sum \limits_{i \in \mathbb{N}} a_{i} \). Warum ist diese Summe endlich?

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Rⁿ meine ich ja

Aber nicht der Aufgabensteller
<b^*_j , a>  =  ∑_i≥j a_i

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Und wie steht es mit der Definition von des Vektorraums \(\R^{\N}\)? Alle reelle Folgen?

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\(\R^{\N}\)  Alle reelle Folgen?

Die Antwort auf diese Frage ist "ja" .

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Ich bin auf meine Frage gekommen, weil ich mich gefragt habe, warum die Reihe in Deinem (Gast hj2166) Kommentar konvergiert?

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Weil es eine endliche Summe ist.

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Der Raum, von der die Aufgabe handelt ist der Raum aller reellen Folgen, also auch der Folge (1,1,1,1,1,1,1,1,1,....)?

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Nein. Irgendwann sind die Folgenglieder 0.

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Ah ja, und das hätte ich den spitzen Klammern um das \(\N\) entnehmen sollen / können?

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Ja. Alternativ auch aus der Tatsache, dass die angegebene kanonische Basis sonst gar keine wäre.