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Aufgabe:

Sei L ein C-Vektorraum und x1, . . . , xn ∈ L eine Basis. Zeige , dass die
Vektoren
x1, . . . , xn, ix1, . . . , ixn ∈ L
eine Basis von L aufgefasst als R-Vektorraum bilden.

von

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\(\begin{align*} \sum_{k=1}^{n}\left(a_{k}+ib_{k}\right)\cdot x_{k} & =\sum_{k=1}^{n}a_{k}\cdot x_{k}+\sum_{k=1}^{n}\left(ib_{k}\right)\cdot x_{k}\\ & =\sum_{k=1}^{n}a_{k}\cdot x_{k}+\sum_{k=1}^{n}b_{k}\cdot ix_{k} \end{align*}\)

Also ist \(\left(x_1,\dots,x_n,ix_1,\dots,ix_n\right)\) ein Erzeugendensystem von V. Zeige noch, dass es linear unabhängig ist.

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Könntest du erklären, wie du auf diese Lösung kommst?

\(\begin{align*}\sum_{k=1}^{n}\left(a_{k}+ib_{k}\right)\cdot x_{k}& \stackrel{\text{D.}}{=}\sum_{k=1}^{n}\left(a_{k}\cdot x_{k} + \left(ib_{k}\right)\cdot x_k\right)\\& \stackrel{\text{K.}}{=}\sum_{k=1}^{n}a_{k}\cdot x_{k}+\sum_{k=1}^{n}\left(ib_{k}\right)\cdot x_{k}\\& \stackrel{\text{A.}}{=}\sum_{k=1}^{n}a_{k}\cdot x_{k}+\sum_{k=1}^{n}b_{k}\cdot \left(ix_{k}\right) \end{align*}\)

Dabei ist

  • D.Distributivgesetz,
  • K.Kommutativgesetz,
  • A.Assoziativgesetz.

Du beziehst dich ja darauf, das imaginäre Zahlen immer in der Form z = a+i*b dargestellt werden, nicht wahr? Ich habe deine Vorgehensweise verstanden, nur noch nicht, was mir das Ergebnis jetzt sagt. Ich bin frisch in der Uni, das ist alles sehr neu für mich, ich bin sehr dankbar, wenn du dir die Zeit nimmst, mir das zu erklären.

Du beziehst dich ja darauf, das imaginäre Zahlen immer in der Form z = a+i*b dargestellt werden

Ich glaube du meinst das richtige, aber der Sprachgebrauch ist nicht ganz astrein.

Eine imaginäre Zahl ist eine Zahl, deren Quadrat eine negative reelle Zahl ist. Zum Beispiel ist 3i eine imaginäre Zahl, weil (3i)2 = (3i)·(3i) = (3·3)·(i·i) = 9·(-1) = -9 < 0. Im Gegensatz dazu ist 1+i keine imaginäre Zahl. (1+i)2 = 2i und 2i ist nicht kleiner als 0. 1+i ist eine komplexe Zahl.

Außerdem werden komplexe Zahlen nicht immer in der Form z = a+i*b dargestellt. Eine beliebte Darstellung von komplexen Zahlen ist die sogenannte Eulerform z = r·e. Dabei ist r der Abstand der Zahl vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene und φ der Winkel zwischen reeller Achse, Ursprung und z. Allerdings kann jede komplexe Zahl in der von dir genannten Form dargestellt werden.

was mir das Ergebnis jetzt sagt.

Weil \(\left(x_1,\dots ,x_n\right)\) eine Basis von \(L\) ist, kann jedes \(v\in L\) als Linearkombination

        \(v = \sum_{k=1}^{n}z_k\cdot x_{k}\)

mit komplexen \(z_k\) dargestellt werden. Weil jedes komplexe Zahl \(z_k\) in der Form

        \(z_k = a_k +ib_k\)

mit reellen \(a_k\) und \(b_k\) dargestellt werden kann, ist

        \(v = \sum_{k=1}^{n}(a_k +ib_k)\cdot x_{k}\)

mit geeigneten reellen \(a_k\) und \(b_k\). Die dann folgenden Umformungen laufen darauf hinaus, dass \(v\) als Linearkombination von \(\left(x_1,\dots ,x_n, ix_1,\dots,ix_n\right)\) mit reellen Koeffizienten dargestellt werden kann. Also ist \(\left(x_1,\dots ,x_n, ix_1,\dots,ix_n\right)\) ein Erzeugendensystem, wenn man \(L\) als ℝ-Vektorraum auffasst. 

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