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Aufgabe:

Sei L ein C-Vektorraum und x1, . . . , xn ∈ L eine Basis. Zeige , dass die
Vektoren
x1, . . . , xn, ix1, . . . , ixn ∈ L
eine Basis von L aufgefasst als R-Vektorraum bilden.

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\(\begin{align*} \sum_{k=1}^{n}\left(a_{k}+ib_{k}\right)\cdot x_{k} & =\sum_{k=1}^{n}a_{k}\cdot x_{k}+\sum_{k=1}^{n}\left(ib_{k}\right)\cdot x_{k}\\ & =\sum_{k=1}^{n}a_{k}\cdot x_{k}+\sum_{k=1}^{n}b_{k}\cdot ix_{k} \end{align*}\)

Also ist \(\left(x_1,\dots,x_n,ix_1,\dots,ix_n\right)\) ein Erzeugendensystem von V. Zeige noch, dass es linear unabhängig ist.

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