Eine Abbildung f ∈ L(V, V) ist genau dann eine Projektion, falls f idempotent ist, d. h. f ◦ f = f

Question

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Sei $\boldsymbol{V}$ ein Vektorraum, wobei $\operatorname{dim} \boldsymbol{V}<\infty$ nicht vorausgesetzt wird. Beweise: Eine Abbildung $f \in \mathrm{L}(\boldsymbol{V}, \boldsymbol{V})$ ist genau dann eine Projektion, falls $f$ idempotent ist, d. h. $f \circ f=f$.
Anleitung: Zeige unter der Voraussetzung $f \circ f=f$, dass $\boldsymbol{V}=\operatorname{ker} f \oplus f(\boldsymbol{V})$. Rechne anschließend nach, dass $f$ tatsächlich die Projektion in Richtung ker $f$ auf $f(\boldsymbol{V})$ ist. Beachte dabei $\boldsymbol{x}=(\boldsymbol{x}-f(\boldsymbol{x}))+f(\boldsymbol{x})$ für alle $\boldsymbol{x} \in \boldsymbol{V}$, wobei $f(\boldsymbol{x}) \in f(\boldsymbol{V})$ klar und $\boldsymbol{x}-f(\boldsymbol{x}) \in \operatorname{ker} f$ herzuleiten ist. Für alle $\boldsymbol{y} \in \operatorname{ker} f \cap f(\boldsymbol{V}) \operatorname{kann}$ $\boldsymbol{o}=f(\boldsymbol{y})=\boldsymbol{y}$ bewiesen werden, indem $\boldsymbol{y}$ in der Form $f(\boldsymbol{v})$ mit $\boldsymbol{v} \in \boldsymbol{V}$ geschrieben wird.