Bestimmen Sie die Ruhelagen.

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Ruhelagen.

Problem/Ansatz:

x'(t) = x² -2x -3

x(0) = x₀

Answer 1

Die Differentialgleichung muss hier nicht gelöst werden. Die "Geschwindigkeiten" \(x'(t)\) hängen nur vom Ort und nicht der Zeit \(t\) ab. (So etwas nennt man auch eine autonome Differentialgleichung.)

Die Ruhelagen solcher DGL (oft auch "stationäre Punkte" genannt) sind die Orte, an denen \(x'(t) = 0\) ist.

Du löst also

$$x^2-2x-3 = 0 \Rightarrow \boxed{x=-1,\; x=3}$$

Das sind die (zeitunabhängigen) Ruhelagen.

Answer 2

Hallo

löse die Dgl mit Separation der Variablen, Integral mit Partialbruchzerlegung. Ruhrpunkte x'=0

lul

Comments

Text erkannt:

\( \begin{array}{l} \dot{x}(t)=x^{2}-2 x-3 \\ \frac{d x}{d t}=x^{2}-2 x-3|\cdot d t \quad|:\left(x^{2}-2 x-3\right) \\ \frac{d x}{x^{2}-2 x-3}=1 d t \\ \frac{1}{x^{2}-2 x-3} d x=1 d t \\ \ P B z \end{array} \)
(1) Nellshellen Nenner
\( x_{1 / 2}=1 \pm \sqrt{1+3} \Rightarrow x_{1}=-1, x_{2}=3 \)
(2) Ansate \( \mathrm{PBE} \)
\( \begin{array}{l} \frac{1}{(x+1)(x-3)}=\frac{A}{(x+1)}+\frac{B}{(x-3)} \mid \cdot(x+1)(x-3) \\ 1=A(x-3)+B(x+2) \\ 1=A_{x}-A_{3}+B x+B \\ 1=x(A+B)+(B-3 A) \\ \left|\begin{array}{r} A+B=0 \\ -3 A+B=1 \end{array}\right| \text { II+3I }\left|\begin{array}{l} A+B=0 \\ O+4 B=1 \end{array}\right| \\ \Rightarrow B=\frac{1}{4} \\ \Rightarrow A=-\frac{1}{4} \\ 1=\frac{-\frac{1}{4}}{x+1}+\frac{\frac{1}{4}}{x-3} \\ \Rightarrow 1=-\frac{1}{4 x+4}+\frac{1}{4 x-12} \\ \end{array} \)

Danke für den Tipp. Ist das bis hierhin richtig, und wie mache ich dann weiter?

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nur die letzte Zeile ist falsch; richtig 1/(x^2-2x-3)=-1/(4x+4)+1/(4x-12)

denn jetzt kannst du mit ln integrieren , (besser 1/4 nicht mit reinmultipöizieren )

Gruß lul