Menge ∂(x)=0 bestimmen und Fixpunktmenge ∂(x)=x , x€R^4

Question

Hallo, Ich sitze an folgender Aufgabe:

Sei \( \alpha: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4}: x \mapsto A x+b \) mit \( A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 4 & 3 & 3 \\ -1 & -13 & -8 & -12 \\ 1 & 9 & 5 & 9\end{array}\right) \) und \( b=\left(\begin{array}{c}1 \\ 3 \\ -6 \\ 2\end{array}\right) \)
(a) Bestimmen Sie \( \operatorname{Rg} A \) und \( \operatorname{Rg}\left(\mathrm{E}_{4}-A\right) \).
(b) Bestimmen Sie die Menge \( \mathcal{N}:=\left\{x \in \mathbb{R}^{4} \mid \alpha(x)=\mathbf{0}\right\} \).
(c) Bestimmen Sie die Fixpunktmenge \( \mathcal{F}:=\left\{x \in \mathbb{R}^{4} \mid \alpha(x)=x\right\} \).

Problem/Ansatz:

a) Ich habe die Ränge jeweils klassisch mit Gauß berechnet.

RgA=0; Rg(E-A)=2

b)

Wie lautet hier der richtige Ansatz?

gesucht ist ja das : Ax+b=0

Also : Ax= -b

--> LGS:\( \begin{pmatrix}  1& 1& 1& 1  |||-1 \\  0& 4& 3& 3  |||-3 \\-1&-13&-8&-12  |||6\\ 1&9&5&9  |||-2  \end{pmatrix} \)

PROBLEM : ich bekomme hier keine Lösung?!

Answer 1

Hallo

 1. wie du auf Rang(A)=0 kommst ist mir schleierhaft.

2, es gbt onlinerechner zu Lösen von linearen GS, warum sollten w⁄r das machen. notfalls zeig deine Rechnung zum Korrigieren.

lul

Comments

a)EinTippfehler. Soll natürlich rgA=3 sein

b) Ich habe das aufgestellte LGS bereits in einen Rechner gegeben und das Ergebnis lautete, dass es keine Lösung gibt.

Deswegen die Frage, ob der Ansatz des LGS überhaupt so stimmt?

Vermutlich bedeutet die Aufgabenstellung, dass  nach dem Kern gesucht wird.

Mich irritiert das +b in der Abbildung. Wie gehe ich damit um? Die Abbildung ist vermutlich nich linear wegen dem Translationsanteil. Ich kenne es nur so, dass ich so ein LGS aufstelle: Ax=0. Kann hier überhaupt ein Kern existieren?

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Hallo

wenn auchder online Rechner keine Lösung sagt würde ich das glauben und Lösungsmenge leer sagen ,da es wie dusagst ja keine lineare Gl ist kann das ja wahr sein.

Gruß lul

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Ich habe bei Teilaufgabe c) dasselbe Problem.

Ich habe es in Matrixcalc eingegeben, aber vorher umgestellt, weil ich das +b nicht eingeben konnte (Der online-Rechner ist auch nur für lineare LGS)

Ax=x´-b

--> \( \begin{pmatrix}  1&1&1&1 \\ 0&4&3&3 \\ -1&-13&-8&-12\\1&9&5&9 \end{pmatrix} \)\( \begin{pmatrix} x1\\x2\\x3\\x4 \end{pmatrix} \)=\( \begin{pmatrix} x1-1\\x2-3\\x3+6\\x4-2 \end{pmatrix} \)

Ergebnis: keine Lösung bzw. dann wieder die leere Menge

Frage:

Hätte ich als Begründung bei b) und c) direkt schreiben können, dass das nicht geht, weil die Abbildung nicht linear ist, anstatt es erst am ende vom Gauß damit zu begründen?

Dann finde ich Aufgabe allgemein komisch, sodass ich glaube, dass etwas dahinter steckt.

Gibt es andere Online-Rechner, die ihr mir empfehlen könnt oder hat das nichts damit zutun?

Vielen Dank