Fixpunktmenge skizzieren (Quadrik)

Question

Aufgabe:

Sei \( P:=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1\end{array}\right) \). Betrachten Sie die folgende Abbildung:
\( \varphi: \mathbb{R}^{2} \backslash\{P\} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \backslash\{P\}: x \mapsto \frac{x-P}{|x-P|^{2}}+P \)
(a) Skizzieren Sie die Fixpunktmenge \( F:=\left\{x \in \mathbb{R}^{2} \backslash\{P\} \mid \varphi(x)=x\right\} \) von \( \varphi \).
(b) Bei \( F \) handelt es sich um eine Quadrik der Form \( \left\{x \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{\top} A x+2 a^{\top} x+c=0\right\} \). Bestimmen Sie die erweiterte Matrix \( A_{\text {erw }} \) und den Typ der Quadrik nach 6.2.6.

Problem/Ansatz:

a) Wie fange ich bei dieser Aufgabe an.

Ich weiß nur, dass eine Fixpunktmenge das ist: φ(x)=x. Wie wende ich es hier an?

Ich habe nur ein Beispiel mit einer Matrix gefunden. Dort wurde es so gemacht : (A-E)x= -P

Answer 1

Hallo,

a) Wie fange ich bei dieser Aufgabe an.

indem Du einfach für ein paar Punkte \(x\) die Abbildung durchführst und Dir anschaust was da passiert:

Der grüne Punkt ist das \(x\). Der rote Punkt ist \(\varphi(x)\). Verschiebe \(x\) mit der Maus und beobachte, wann rot und grün zusammen fallen.

Ich weiß nur, dass eine Fixpunktmenge das ist: φ(x)=x. Wie wende ich es hier an?

genau so. Setze für \(\varphi(x)\) doch die gegebene Funktion ein. Falls Du dabei nicht weiter kommst, so melde Dich bitte.

Bem.: die Abbildung \(\varphi\) ist eine Kreisspiegelung.

(b) Bei \( F \) handelt es sich um eine Quadrik der Form \( \left\{x \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{\top} A x+2 a^{\top} x+c=0\right\} \). Bestimmen Sie die erweiterte Matrix \( A_{\text {erw }} \) und den Typ der Quadrik nach 6.2.6.

\(F\) ist der Kreis um \(P\) mit Radius \(1\). Allgemein ist die Kreisgleichung$$\left(x-1\right)^{2}+\left(y-1\right)^{2}=1$$Umgeformt gibt das$$\begin{aligned} \left(x-1\right)^{2}+\left(y-1\right)^{2} &=1\\ x^2 + y^2 - 2x-2y +1 &= 0 \\ \vec x^T\underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}_{=A}\vec x + 2\underbrace{\begin{pmatrix} -1\\-1 \end{pmatrix}^T}_{=a}\vec x + \underbrace{1}_{=c} &= 0\\ A_{\text{erw.}} = \begin{pmatrix} A & a \\ a^T & c \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1& -1\\ -1& -1& 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$Gruß Werner